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APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES - Coggle Diagram
APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES
Definición de aproximación numérica
Es un valor estimado de un número que no puede ser representado exactamente, ya sea por restricciones de tiempo, recursos, entre otros.
Ejemplos
• Número Euler (e): El número 𝑒, base del logaritmo natural, con valor aproximado de 2.71828, para efectos de facilitar cálculos se usa 2.7183.
• Fracciones: La fracción 1/3 puede aproximarse como 0.3333. El valor exacto tiene infinitos decimales.
• Número pi (𝜋): El valor de π es aproximadamente 3.14159, aunque es común usar el valor truncado de 3.1416 para facilitar las operaciones.
Raíces cuadradas: El valor exacto de √2 es 1.414213562... se usa 1.4142, valor aproximado reducido sin perder mucha precisión.
Importancia de la aproximación numérica
La capacidad de resolución a problemas con un
nivel de precisión y aproximación aceptable, permite obtener soluciones útiles para la toma de decisiones y la resolución de problemas en la práctica.
Ejemplos
•Fenómenos físicos de la vida real, no se pueden obtener una solución exacta o la solución analítica, por ejemplo la solución de ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones no lineales, donde se deben usar métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas.
• Cálculos como las series (Taylor, Fourier, etc.) implican sumas infinitas, estos procesos deben truncarse en un número finito de términos, lo que introduce un error, pero permite obtener una aproximación del valor exacto.
• La simulación en ingeniería, las simulaciones de estructuras o fluidos requieren soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales complejas.
Los modelos matemáticos que predicen los pronósticos del clima dependen en gran medida de la aproximación numérica.
Errores absolutos y relativos
Error absoluto
Es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado, en el error absoluto se mide la magnitud del error sin tener en cuenta su signo.
Error relativo
Es la relación del error absoluto respecto al valor real. Indica el tamaño del error en relación con el valor que se está midiendo o calculando.
EJEMPLO
Un científico está midiendo la temperatura de un experimento y sabe que la temperatura real es de 100.0 [º𝐶], pero el termómetro utilizado da una lectura de 99.85 [º𝐶].
El error absoluto es la diferencia entre el valor verdadero y el valor medido.
El error relativo se obtiene dividiendo el error absoluto entre el valor verdadero.
El error relativo porcentual.
𝑒𝑟𝑒𝑙(%) = 0.0015 × 100% = 0.15%
La precisión se refiere a la consistencia de los resultados de las mediciones repetidas. Un conjunto de mediciones precisas tiene una variabilidad baja, o se encuentran cercanas unas de otras.
Propagación de errores en cálculos numéricos
La propagación de errores ocurre cuando los errores presentes en los datos de entrada o en las operaciones intermedias afectan el resultado final de un cálculo numérico.
•
Propagación de errores aditivos:
Cuando los errores se suman directamente a medida que se realizan las operaciones.
•
Propagación de errores multiplicativos:
Cuando los errores se amplifican o multiplican debido a la forma en que las operaciones están estructuradas.
•
Propagación no lineal de errores:
Los errores pueden comportarse de forma más compleja.
Errores de redondeo:
En general se introducen este tipo de errores en cálculos mediante computadora debido a que trabajan con un número finito de decimales
Errores de truncamiento:
Introducidos al aproximar expresiones matemáticas (como series infinitas o integrales), son conocidos como errores de algoritmo.
Propagación de errores
La propagación de errores en una suma o resta, si tenemos dos valores A y B con errores absolutos Δ𝐴 𝑦 Δ𝐵 respectivamente. El error resultante será la suma de los errores: Δ𝑆 = Δ𝐴 + Δ𝐵
Propagación de errores en una multiplicación o división de dos cantidades A y B, el error relativo total es la suma de los errores relativos de cada uno de los términos:
EJEMPLO
Un químico mide dos volúmenes líquidos para mezclarlos:
Volumen 1: 50.0[ml] con un error de Δ𝑉1 = 0.2[ml]. Volumen 2: 30.0[ml] con un error de Δ𝑉2 = 0.1[ml]. ¿Cuál es el error en el volumen total?
SOLUCIÓN
El volumen total es:
total = 𝑉1 + 𝑉2 = 50.0 + 30.0 = 80.0[ml]
El error total es la suma de los errores absolutos:
Δ𝑉total = Δ𝑉1 + Δ𝑉2 = 0.2 + 0.1 = 0.3[ml]
Por lo tanto, el volumen total es:
𝑉total = 80.0[ml] ± 0.3[ml]
La representación gráfica es:
Algoritmos y convergencia en un método numérico
Un algoritmo es una serie de pasos ordenados y finitos que se utilizan para resolver un problema o realizar una tarea específica.
Este algoritmo específico tiene un inicio, una serie de pasos detallados y un final definido.
EJEMPLO
1.Inicio
Leer el número n
Si el residuo de dividir n entre 2 es igual a 0, entonces:
• El número es par.
De lo contrario:
El número es impar.
Fin
Diagrama de flujo de algoritmo de cálculo de número par
