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Généralités Géométrie plane - Coggle Diagram
Généralités Géométrie plane
C1 + C2
: géométrie perceptive (reconnaitre à vue d'oeil et tracer à main levée)
CE1
: début instruments
CE2 + C3
: géométrie instrumentée --> construire/reproduire figures + utiliser propriétés
C4 : géométrie déductive --> raisonner sur figures
Concepts géométrie
objets géométriques
relations entre objets
propriétés objets
Typologie concepts géométrie Vergnaud
:
problèmes que ces concepts permettent résoudre
voc + codages + synthaxe + représentations graphiques
définitions + propriétés
savoirs-faire
Problèmes à résoudre par géométrie
Problème de modélisation
représenter objets /situations du monde réel avec concepts maths :
objets monde réel/sensible
--> toucher/déplacer/manip/tri/transfo (aussi dessins et formes géométriques (objet monde sensible représenté par objet géométrique)
objets géométriques
--> objets idéaux définis par propriétés du monde géométrique représentés avec dessins/logiciels
Problèmes théoriques
ne font intervenir que concepts géométrie
Le dessin en géométrie
fonctions dessin
une fin en soi --> tracer rectangle
représenter
objets géométriques
pour résoudre problème
--> dessin pas objet géométrique mais représentant (image)
--> donc pas possible utiliser instruments sur dessin
représenter objet monde réel
ex: terrain
communiquer infos
donner modèle/protocole pour tracer figure
institutionnaliser procédures construction figure géométrique
élèves communiquent
dessin instrumenté
dessin avec précision via instruments car PE exige / situation l'impose (ficelle dans boite)
schéma
dessin à main levée avec infos mesures/codage angles droits/codage côtés même longueur/texte --> trouver étapes construction dessin / communiquer infos
Instruments de dessin
instrument géométrie = résultante 3 composantes :
artéfact (objet matériel conçu dans but spécifique)
technique d'utilisation
théorie sous-jacente à usage instrument
RABARDEL
faire utiliser gabarits figures usuelles
ENSEIGNER GEOMETRIE
Connaissances spatiales et géométriques
bcp concepts géométrie (rectangle, carré, cercle) ont liens étroits avec objet monde réel
--> possèdent connaissances spatiales (reconnaitre/décrire/fabriquer/transformer/déplacer/trouver/communiquer objets)
--> concepts géométrie s'installent grâce à ça -->
préconcepts
(appropriation en acte propriétés)
rectitude
nombre côtés
égalité longueurs/angles droits
ROUCHE
enseignement doit mettre en évidence savoirs géométriques liés aux figures à partir connaissances élèves
puis dev savoir-faire en lien avec savoirs pour résoudre problèmes
élève doit passer de formes géométriques en tant qu'objet réel à représentations formes (dessins) (3 visions) -->
déconstruction dimensionnelle
vision surface
--> aire/convexité/superposabilité
vision-droites
--> côtés/bords droits/périmètre
vision-points
--> sommets/distance entre points/inégalité triangulaire
3 types de géométrie
perceptive
oeil élève --> reconnaitre objets géométriques/ construire à main levé --> est vrai ce qui est vu
instrumentée
instruments --> élèves doivent reconnaitre/décrire/reproduire/construire figure (utilisation en acte propriétés)
déductive
propriétés géométrie
3 types d'espace
micro-espace
: proche observateur et extérieur à lui --> peut voir/toucher/déplacer objets sans déplacement élève
méso-espace
: totalement accessible à partir position élève qui est élément espace + repères fixes
macro-espace
: que possibilité avoir perception locale --> élève est un des éléments espace + doit coordonner infos pour le reconstituer mentalement (plan, carte, maquette)
Savoir-faire associés aux concepts géométrie
Reconnaitre figures usuelles
perceptive
:
--> utiliser prototype stocké en mémoire (position prototypique) -->
reconnaissance globale
--> décomposer et chercher en fonction caractéristiques -->
reconnaissance analytique
instrument
:
avec instruments à partir connaissance propriétés carré
Construire figures usuelles
activité de construction :
anticipation mentale produit fini -->
image mentale anticipatrice
élaboration procédure de tracé (propriétés géométrie explicites/implicites)
exécution tracé
Variables didactiques
présence d'instruments
figure à reconnaitre isolée
position prototypique
figure à compléter ou construire
construction en position prototypique
nature figure
type de support : papier blanc/quadrillé
instruments disponibles
complexité construction
taille espace dans laquelle figure à réaliser
support de reproduction
figures de base isolées/position prototypique ?
lien entre figures de bases visibles/à construire ?
chronologie construction
difficultées //
nature coefficient d'agrandissement (entier/décimal)
relations entre mesures de la figure à agrandir
possibilité utiliser règle graduée
présence relations géométriques
Variables
outils
papier calque : décalquer figure et faire essais pliage
géomiroir --> reflet
pas d'outils --> mentalisation
support
papier quadrillé : axe de symétrie --> ligne quadrillage à repérer (décompte carreaux) / pas sur ligne : induit souvent en erreur
papier blanc : images mentales
caractéristiques figure
orientation axe --> horizontal/vertical : facile mais pas oblique
nombre axes : élève peut penser que 1 à trouver
familiarité avec figure : (silhouette/triangle + facile)
figures de base constituant figure
axe figures isolées VS axe partageant figure
consignes (plier ou pas)
matériel (calque/géomiroir)
axe h ou v ou oblique
figure élémentaire/complexe / nombre sommets / coupé par axe / cotés h ou v
espace de réponse réservé aux élèves
Difficultés + erreurs
pas d'image mentale figures
que reconnaissance quand position prototypique
difficulté utilisation instruments + connaissance propriétés
difficulté isoler figure
mauvaise connaissance vocabulaire
confond objets géométrie et et leur représentation
difficulté mobiliser
images mentales anticipatrices
mauvaise connaissance vocabulaire / confusion
confond objets géométrie + représentation + façon de les nommer
utiliser instruments
:
psychomotricité fine --> tracer trait avec règle trop fort/règle instable
comprend pas rôle instrument car pas indiqué (équerre --> perpendicularité --> réquerre)
Aider construction images mentales
manipulation problématisée objets géométriques --> classement /boite à trou
tracé à main levée objets géométriques --> libre usage instruments
connait pas propriétés pour procédures construction
ne fait pas schéma intermédiaire même quand utile
difficulté réalisation schéma
difficulté lire schéma quand cahier des charges
élève voit pas relations éléments figure
élève tenté utiliser modèle additif (calcule diff au lieu proportion)
quand sait pas place approximativement
manque voc maths --> mots inversés/dèf galvaudée (milieu cercle/rond, trait)
--> choix peut s'expliquer par volonté compréhension
connait pas propriétés figures de base objets décrits
implicite dans description (élève fait lien logique pour lui mais peut être pas pour interlocuteur)
élève s'interdit donner nom aux points car pense pas le droit
difficulté intégrer voc spécifique/ exploiter polysémique --> sommet en haut + droit oblique et non prototypique
Mentalisation images pliage/construction symétrie
pliage --> encore plus difficile car déplacement image
Recourt fréquent au théorème élève : axe symétrie passe par milieu figure --> sens ''milieu''
milieu segment
centre cercle/figure
droite partageant figure en 2 figures superposables
(ex : diagonale rectangle)
Recourt uniquement à axes verticaux / horizontaux
quand plusieurs axes --> trouvent que v et h
quand position non prototypique même si axe v ou h --> pas d'axe
Quand figure complexe composée figures simples facilement repérables
répondent avec axes figures élémentaires et pas figure complète
mauvais dénombrement carreaux
pas construction inversée mais identique
construit symétrie horizontal/vertical alors que axe diagonal
mauvaise liaison points symétriques construits (mauvais représentation mentale)
avec règles/équerre
trace lignes horizontales/verticales quand axe pas h ou v (ligne de rappel horizontal)
points symétriques mal reliés (bcp de sommets)
Problèmes de géométrie à l'école
Construire une figure complexe
construire figure à partir
cahier des charges
:
A partir schéma
connaissance propriétés figure
A partir texte
avoir procédure de tracé en tête --> possible que si entrainement
faire schéma
Reproduire une figure complexe
à échelle 1
sans amorce
repérer dans figure objets/relations élémentaires de la géométrie (droites/segments/triangles...)
Repérer liens entre figures de base (segment --> diagonales)
Définir chronologie exécution
Exécuter étapes tracés
Validation reproductions
superposition avec modèle --> si incorrect : origine mauvais tracé/propriétés ?
sans traces étapes procédure --> difficile d'où
entretien d'explicitation
Vermersch
sur papier quadrillé
positionner points caractéristiques figure de proche en proche les uns par rapport aux autres
avec amorce
(restauration de figure)
dépend outils à disposition --> pour imposer utilisation propriétés : système de points pour éviter règle graduée
Agrandissement/réduction
2 méthodes :
utiliser proportionnalité + permanence mesure angles
méthode géométrique --> conservation alignement+ angles + parallélisme + égalité longueurs + milieu segment
Validation reproductions
utilisation transparent/calque figure agrandie
Décrire une figure complexe
But visé + destinataire --> 2 buts
Description pour identification parmi autres figures
décrire selon critères + prend en compte autres figures pour différencier
Description pour que destinataire puisse se représenter / reproduire
analyser figure --> // reproduire figure complexe
Utiliser voc pour permettre utilisateur réussir tracé (voc maths/courant)
Représentations langagières et non langagières
Langagières
mots familiers élève
triangle/carré/rond
mots polysémiques
droit/sommet
mots spécifiques
perpendiculaire/quadrilatère
expressions spécifiques
"droite est parallèle à droite"
Non Langagières
codification/signes graphiques dans textes/figures géométriques
Enseigner la géométrie à l'école maternelle
PS
début différenciation formes par vue/toucher --> avec jeu (encastrement/puzzle/construction/memory/loto/assemblages)
formes présentées dans position proto + non proto
introduction lexique : plat/arrondi/droit
MS
formes plus nombreuses : carrés/triangles/rectangles/ronds
classement selon formes/travaux déco/gommettes
début association objet géo à représentations (photos)
GS
début différenciation formes d'après propriétés -->bords (« droit », « courbe »)
/ sommets "pointus"
langage utilisé pour identifier formes
reconnait formes dans assemblages (tangrams)
Enseigner la géométrie au C2 et C3
aspect perceptif
mis en avant
notions géométrie plane + connaissances sur figures --> manipulation + résolutions de problèmes (reproduction/description/reconnaissance figures/tri/classement/tracés)
objectif : pas montrer concepts à réutiliser (-->
modèle transmissif / apprentissage par ostention
)
mais utiliser problème où résolution nécessite construction concepts géométrie (
modèle constructiviste
)
possibilité introduire concepts avec travail recherche dans méso-espace --> élèves mobilisent connaissances spatiales --> réutilisent sur feuille papier
introduire + utiliser + encourager langage précis et adapté
importance reproduction + restauration de figures + variables dès C2
(fin C2 + C3) aspect instrumenté mis en avant
Peltier EuroMaths
SYMETRIE AXIALE
familière --> beaucoup d'objets + corps
C1 : 2 problèmes : repérer + tracer axes symétrie figure / tracer symétrique figure d'après axe a main levée avec papier calque/quadrillé
Recherche d'axes de symétrie
Procédures
Pour conjecturer l'existence d'un axe
repérer sous-figure qui admet axe de symétrie
--> peut donc être axe figure complète
repérer éléments figure semblent symétriques
--> préciser axe symétrie
Vérifier que axe conjecturé est bien axe symétrie
tracer mentalement symétrique figure + repérer si symétrique obtenu fait partie figure
effectuer mentalement pliage + vérifier 2 parties figure situées dans demi-plans se superposent
Compléter une figure suivant un axe de symétrie donné, tracer le symétrique d’une figure
Procédures
Pliage
effectuer correctement pliage suivant axe + décalquer figure par transparence
Papier calque
décalquer figure de départ avec axe + retourner calque et placer à bonne hauteur + repasser crayon sur figure pour laisser empreinte sur feuille
Papier quadrillé
P1 : symétrique de chaque points remarquables (sommets) + joindre points
P2 : construire point puis figure par inversion (respecter longueurs et angles)
--> plus facile si axe aligné avec quadrillage
LOGICIELS DE GEOMETRIE DYNAMIQUE
Gestion de classe
Classe entière
montre/déplace/identifier caractéristiques/construire figure avec procédures proposées par élèves
Atelier
dans salle info : construction/reproduction/faire hypothèses d'après caractéristiques figures avec déplacement
gérer hétérogénéité + ficher de travail
prévoir blocage/ajout certains outils selon objectifs
Activités
donner instructions à mettre en place
reproduire figure d'après modèle
élève doit retrouver procédure construction figure du prof par déplacement (macro-construction)
Inconvénients et avantages
Avantages
élèves motivés
travail en partie en autonomie
complémentarité papier/crayon et ordi --> transfert
Inconvénients
avoir salle info
bonne connaissance logiciel par prof
initiation au logiciel pour élèves
élève doit accepter contrainte déplacement figure avec résistance + respect propriétés géométrie