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Variabili aleatorie - Coggle Diagram

- - - - ∀ a, b ∈ ℝ F_x (a)≤ F_x (a) se a ≤ b
      - Limite t che tende a -inf = 0 e +inf = 1
      - ∀ t ∈ ℝ F_x (t) ∈ [0,1]
      - P (X ∈ (a, b]) = P (a < x ≤ b) = F_x (b)- F_x (a)
  - - - misura della sua media teorica o del suo centro di gravità
    - - misura quanto i valori di una variabile aleatoria sono dispersi
    - - misura della relazione lineare tra due va
- - - - v.a. con la stessa legge
    - - Proprietà
- - - - Geometrica X~geo(p)
        
        Funzione di probabilità
        
        P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) * p, con k = 1, 2, ....
        
        Valore atteso e varianza
        
        E[X] = 1 / p, Var(X) = (1 - p) / p^2
        
        numero di prove necessarie per ottenere il primo successo
        
        Codominio
        
        {0, 1, ..., n}, con n intero non negativo
      - Bernoulli X~b(1,p)
        
        due soli risultati: successo (1) o insuccesso (0)
        
        Funzione di probabilità
        
        P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p, con p ∈ [0,1]
        
        Valore atteso e varianza
        
        E[X] = p, Var(X) = p * (1 - p)
        
        Codominio
        
        cod(x) = {0, 1}
      - Poisson X~P(λ)
        
        Funzione di probabilità
        
        P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!, con k = 0, 1, 2, ....
        
        Valore atteso e varianza
        
        E[X] = λ, Var(X) = λ
        
        numero di eventi in un intervallo di tempo/spazio con una data media λ
        
        Codominio
        
        {0, 1, 2, 3, ...}.
      - Binomiale X~B(n,p)
        
        Funzione di probabilità
        
        P(X = k) = (n|k) p^k (1 - p)^(n - k),
        con k = 0, 1, ..., n.
        
        Valore atteso e varianza
        
        E[X] = n p, Var(X) = n p * (1 - p)
        
        Codominio
  - - - Normale (o Gaussiana) X ~ N (μ,σ^2)
        
        Codominio ℝ
        
        Funzione di densità
        
        f_X(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x - μ)^2 / (2σ^2)).
        
        fenomeni naturali, come altezza o peso, con media μ e varianza σ^2
        
        Valore atteso e varianza
        
        E[X] = μ, Var(X) = σ^2
        
        Normale standard X~N(0,1)/φ(X)
      - Chi-quadro X~X_n ^2
        
        Codominio [0, +∞)
        
        Derivata dalla somma dei quadrati di k variabili normali standard indipendenti, con applicazioni nei test statistici
        
        Valore atteso e varianza
        
        E[X] = k, Var(X) = 2k
      - Uniforme X~U(a,b)
        
        Codominio
        
        [a, b], con a e b reali e a < b
        
        Funzione di densità
        
        f_X(x) = 1 / (b - a), per x ∈ [a, b], 0 altrimenti
        
        variabile casuale che assume valori nell'intervallo [a, b] con uguale probabilità
        
        Valore atteso e varianza
        
        E[X] = (a + b) / 2, Var(X) = (b - a)^2 / 12
      - t-Student T~ t_n
        
        Codominio ℝ
        
        Usata per stimare la media di una popolazione quando la varianza è sconosciuta. Dipende da un parametro di libertà ν (gradi di libertà).
      - Fisher F~F_n,m
        
        Modella il rapporto tra due variabili Chi-quadro indipendenti, normalizzate dai rispettivi gradi di libertà. È utilizzata nei test di confronto tra varianze
        
        Codominio [0, +∞)