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GEOMETRIA PLANA, R. A. Johnson, Geometría plana. 3rd ed. Madrid, España:…
GEOMETRIA PLANA
Caracteristicas.
Dimensiones:
Las figuras geométricas se representan en dos dimensiones: longitud y ancho (no tienen profundidad).
Elementos básicos:
Punto: No tiene dimensión, solo posición.
Línea: Tiene longitud infinita y no tiene ancho ni grosor. Puede ser recta, curva o poligonal.
Plano: Superficie bidimensional que se extiende infinitamente en todas las direcciones.
Figuras geométricas:
Figuras rectilíneas: Formadas por líneas rectas, como triángulos, cuadriláteros y polígonos en general.
Figuras curvas: Como circunferencias, elipses o segmentos circulares.
Figuras mixtas: Combinación de líneas rectas y curvas.
Propiedades métricas:
Incluyen el cálculo de longitudes (perímetro), áreas y relaciones angulares. Las propiedades métricas dependen de la forma y dimensiones de las figuras.
Ángulos:
Se estudian diferentes tipos de ángulos (rectos, agudos, obtusos, etc.) y las relaciones entre ellos dentro de las figuras.
Relaciones geométricas:
Establece relaciones entre puntos, líneas y figuras:
Paralelismo.
Perpendicularidad.
Congruencia y semejanza.
Formulación algebraica:
Muchas relaciones en geometría plana se expresan mediante fórmulas matemáticas, como el teorema de Pitágoras o las fórmulas para calcular áreas y perímetros.
Sistemas de coordenadas:
Permite representar figuras geométricas en un plano cartesiano, facilitando su análisis mediante ecuaciones algebraicas.
CIRCULO.
Caracteristicas.
Centro:
Es el punto fijo del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio (r):
Es la distancia desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia. Todos los radios de una misma circunferencia tienen igual longitud.
Diámetro (d):
Es el segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. Su longitud es el doble del radio.
Longitud de la circunferencia (L):
Es la medida de su perímetro y se calcula mediante la fórmula.
Cuerda:
Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. El diámetro es la cuerda más larga.
Arco:
Es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. Puede ser menor o mayor dependiendo de los puntos seleccionados.
Definicion.
Es una rama de la geometría plana que se centra en el estudio de las propiedades, características y relaciones de las figuras asociadas a los círculos y las formas derivadas de ellos.
Formula.
L=2πr
A=πr2
L=360∘θ⋅2πr
A=360∘θ⋅πr2.
Ejercicios:
A=πR 2 −πr 2
R=10 y 𝑟=6r=6:
A=π(10) 2 −π(6)²
100π−36π=64πcm²≈
201.06cm².
L=360°θ⋅2πr=
360/120⋅2π(5)=
3/1⋅10π=
3/10πcm.
L=2rsin( 2/θ)=
2(5)sin(60°)=
10⋅ 2/√3 =
5 √3cm
L =2(6)sin(2/120°)=
12sin(60° )
L =12⋅2/√3=6√3cm≈
10.39cm.
A=(360°/θ)⋅πr 2
25π=(360°/θ)⋅π(10)²
25= (360°/θ)⋅100
θ=(100/25⋅360)=90°
L=(360°/θ)⋅2πr
L= 360/90⋅2π(10)=
4/1 ⋅20π=5πcm≈
15.71cm
L=360°/θ⋅2πr
7π=360°/θ⋅2π(5)
7π=360°/θ⋅10π
7=360/10θ
θ=10/7⋅360=
252°
L=360°/θ⋅2πr
3/5π=360/150⋅2πr
3/5π=6/5πr
10π=5πr
2cm
L=2rsin(2/θ)
L=2(10)sin(2/80°)=
20sin(40°)
sin(40°)≈0.6428
L≈20⋅0.6428=
12.86cm
Poligono.
Definicion.
Es una rama de la geometría que se ocupa del estudio de los polígonos, sus propiedades, características y relaciones. Los polígonos son figuras geométricas planas delimitadas por segmentos de línea recta que se intersectan únicamente en sus extremos, formando una figura cerrada.
Formula.
S=(n-2)⋅180∘
S=360∘
β=n360∘
α=n(n-2)⋅180∘
P=n⋅l
A=2P⋅a
A=2n⋅l⋅a
D=2n⋅(n-3)
l=2⋅R⋅sin(n180∘)
Caracteristicas.
Lados:
Son los segmentos de recta que forman el contorno del polígono. El número de lados define el tipo de polígono.
Vértices:
Son los puntos donde se unen dos lados consecutivos.
Ángulos interiores:
Son los ángulos formados dentro del polígono entre dos lados consecutivos.
Ángulos exteriores:
Son los ángulos formados entre un lado y la prolongación del lado consecutivo. La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre 360°
Perímetro (P):
Es la suma de la longitud de todos los lados del polígono.
Área (A):
Es la medida de la superficie encerrada dentro del polígono. Su cálculo depende del tipo de polígono (regular o irregular).
Ejercicios:
S=(n−2)⋅180°
S=(12−2)⋅180°=
10⋅180°=
1800°
A=n/(n−2)⋅180°
A=6/(6−2)⋅180°=
6/4⋅180°=
6/720°=
120°
A=4/√3⋅L²
A=4/√3⋅6²=
(4/√3)⋅36=
9√3cm²
L=2⋅r⋅sin( n/180°)
L=2⋅10⋅sin(5/180°)=
20⋅sin(36°)
L=20⋅0.5878=
11.756cm
D=2n(n−3)
D= 2/5(5−3)=
2/5⋅2=5
D= 2/6(6−3)=
2/6⋅3=9
5+9=14
L=√3⋅r
L=√3⋅12=12√3cm
A= 4/√3⋅L²
A=4/√3⋅(12√3 )²=
4/√3⋅(144⋅3)=4√/3⋅432=
108√3cm²
a=r⋅cos(n/180°)
a=10⋅cos(6/180°)=
10⋅cos(30°)
a=10⋅0.866=
8.66cm
A=2/(B+b)⋅h
A=2/(10+6)⋅8=
2/16⋅8=
2/128=
64cm²
Cuadrilatero.
Caracteristicas.
Son los mismo que los polígonos.
Lados:
Un cuadrilátero siempre tiene cuatro lados. Estos pueden ser iguales o desiguales.
Vértices:
Son los cuatro puntos donde se unen dos lados consecutivos.
Ángulos interiores:
Son los ángulos formados dentro del cuadrilátero. La suma de los ángulos interiores siempre es:
360°
Ángulos exteriores:
Son los ángulos formados entre un lado y la prolongación del lado adyacente. La suma de los ángulos exteriores también es siempre:
360°
Diagonales:
Son los segmentos que unen vértices opuestos. En un cuadrilátero hay dos diagonales.
Perímetro (P):
Es la suma de la longitud de los cuatro lados.
Área (A):
El cálculo del área depende del tipo de cuadrilátero. Para algunos casos, se puede dividir el cuadrilátero en dos triángulos y calcular la suma de sus áreas.
Están clasificados por.
Según sus lados.
Paralelogramos:
Tienen lados opuestos paralelos e iguales. Ejemplos: rectángulo, rombo, cuadrado, romboide.
Trapecios:
Tienen solo dos lados paralelos. Ejemplo: trapecio isósceles, trapecio rectángulo.
Trapezoides:
No tienen lados paralelos.
Según sus ángulos.
Cuadriláteros convexos:
Todos los ángulos interiores son menores de
180 °
Cuadriláteros cóncavos:
Uno de los ángulos interiores es mayor de
180 °
Definicion.
La geometría de los cuadriláteros es una rama de la geometría que se enfoca en el estudio de las propiedades, características y relaciones de las figuras geométricas planas que tienen cuatro lados. Un cuadrilátero es un polígono que consta de cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.
Formula.
P=l1+l2+l3+l4
A=l2
A=b⋅h
A=2D⋅d
A=2(B+b)⋅h
A=2D⋅d⋅sin(θ)
D=√(l 2/1 +l 2/2 )
D2+d2=4⋅l2
S=360∘
Ejercicios:
S= 2/b+l1+l/2= 2/8+5+7=10cm
A=√s(s−b)(s−l1)(s−l2)=
10(10−8)(10−5)(10−7)=
10⋅2⋅5⋅3=
√300=
10√3
h=A/B=8/(10√3).
A=2/(B+b)⋅h=
2/(12+8)⋅8/(10√3)=
10√3cm²
A=(2/1)⋅d1⋅d2⋅sin(θ).
A=(2/1)⋅15⋅20⋅sin(60°).
A= (2/1)⋅15⋅20⋅(2/√3)=
75√3cm²
D1=√a2+b2−2abcos(θ)
D1=√8²+12²−2(8)(12)cos(120°)
D1=√64+144+96=304≈
17.44cm
D2=√a2+b2+2abcos(θ)
D2=√8²+12²+2(8)(12)(−2/1)=
√304−96=√208≈
14.42cm
A=√(s−a)(s−b)(s−c)(s−d).
s=2/√12+16+14+18=30.
A=√(30−12)(30−16)(30−14)(30−18)=
√18⋅14⋅16⋅12=
√48384≈
220cm²
D=√a2+b2−2abcos(θ).
D=√8²+15²−2(8)(15)cos(60°)=
=√64+225−2(8)(15)(0.5)=
√289−120=
√169=
13cm
d=√a²+b²−2abcos(θ)
14=√10²+12²−2(10)(12)cos(θ)
14²=10²+12²−2(10)(12)cos(θ)
196=100+144−240cos(θ).
240cos(θ)=44
cos(θ)=240/44=60/11
θ=cos–¹(60/11)≈
81.47°
A=ab⋅sin(θ)
A=20⋅25⋅sin(75°)
A=500⋅0.9659≈
483cm²
P=2(b+h)=36
b+h=18
2h+h=18
3h=18
h=6
A=b⋅h=12⋅6=
b=2h=12
A=b⋅h=12⋅6=
72cm²
Definicion.
Se ocupa del estudio de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas en un plano bidimensional. Estas figuras incluyen puntos, líneas, segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, círculos, y otras formas poligonales.
R. A. Johnson, Geometría plana. 3rd ed. Madrid, España: McGraw-Hill, 2015.
M. L. García, Introducción a la geometría: conceptos y aplicaciones. 1st ed. Buenos Aires, Argentina: Editorial Universitaria, 2018.
P. M. Smith, Fundamentos de la geometría plana y sus aplicaciones. 2nd ed. Barcelona, España: Ediciones Pearson, 2019.
Bibliografía:
Charco Jimer
Nivelación Ingeniería Eléctrica A
Fecha: 12-01-2025
Tema: Geometría plana
Asignatura: Geometría y trigonometría