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Multiplication et division - Coggle Diagram
Multiplication et division
C2+C3
résoudre problèmes
(procédures persos décolorées contexte problème puis procédures expertes adaptées)
produire résultat calcul avec méthode appropriée
Typologie problèmes champ multiplicatif
Situations proportion simple avec présence unité
Problèmes de multiplication
Pour 1 item, j'ai
x
objets.
Combien d'objets pour
y
items ? -->
x*y = z
Schémas / modélisation
contexte ordinal/cardinal/mesure
(décimaux)
Problèmes de division-partition (recherche valeur d'une part)
Pour y item, j'ai
z
objets.
Combien d'objets pour 1 items ? -->
z/y = x (+ r)
contexte conditionne choix division (eucli/décimale/fractionnaire)
Problèmes de division-quotition (recherche nombre de part)
//
Situations proportion simple sans présence unité
Nécessite proportionnalité (retour à 1, linéarité...)
Situations comparaison avec "fois plus/moins"
combien A a plus/moins que B
Situations produit de mesures
Multiplication
tableau à double entrée (dimension géométrique)
quadrillage carreaux cahier (l x L)
x sortes figures et y couleurs --> nbr compos
aire avec L ou l
Division
VERGNAUX
Procédures résolution
Multiplication
Proportionnalité simple avec présence de l’unité
variables petites
procédure additive
procédure multiplicative
support dessin/schéma --> dénombrement
1 variable grande
schéma (barres)
procédure addititve
difficile
procédure multiplicative
meilleure mais difficile ou calculette
variables grandes
schéma que pour aide
procédure additive
très couteuse mais représentation en cascade / linéarité aident
procédure multiplicative
meilleure mais difficile ou calculette
Produits de mesures
écrire tous les couples possibles
faire schéma
tableau double entrée
raisonnement
Division
Procédures imagées
Schéma
Dessin figuratif
vite couteuses
Procédures par calcul (addition/soustraction)
addition itérée
attention emploi "="
vite couteuses + charge cognitive pour retrouver résultat
soustraction itérée
addition / soustraction itérée avec multiple
plus efficace (surtout avec multiples de 10)
plus complexe pour division partition --> raisonnement flou
ROBBERT NEYRET
Procédures multiplicatives
opération posée
délicat si reste pas nul
multiples successifs
fastidieuse si résultat trop bas
approches successives (dichotomie)
dépend qualité approximations + ajustements
Procédures mixtes
quotients partiels au hasard (multiplications + soustractions successives)
multiplies de 10, 100... //
Utilisation division
division euclidienne posée
procédure experte
élève fait souvent mélange
Variables didactiques
Problèmes à résoudre par multiplication/division
Type nombres
Taille nombres
Outils de calcul
Problème de division
Valeur quotient
Existence reste nul
Interpréter résultat (quotient et/ou reste --> résultat ?)
familiarité avec contexte
formulation énoncé
type de problème
Erreurs
Problèmes avec que entiers
Erreur choix procédure
(selon mots choisis/contexte déjà rencontré)
inverser produit/quotient --> mot "chaque"
inverser dividende/diviseur --> penser diviseur<dividende tt le temps + ordre apparition nombres
Erreur exécution procédure/interprétation calculs faits
calcul avec quotient à augmenter de 1 car reste (passagers dans voiture)
réponse est reste et pas quotient (jeu carte avec pioche)
Erreur dans calcul
Problèmes avec décimaux
contexte poids au kilo
addition itérée erronée
solution : proportionnalité retour à unité + conversions
décompo partie décimale
contexte partage ruban
élèves pensent quotient = partie entière et reste = partie décimale résultat
partie décimale infinie --> nécessite connaissances
contexte division entier par décimal + quotient sans reste
addition itérée diviseur
tâtonnement produits diviseur avec bon ordre de grandeur
procédure experte (changer décimaux en entier) pas dispo avant 6ème
Langage et notations symboliques
Multiplication
Expressions symboliques
lien avec addition itérée
difficultés pour produit plusieurs facteurs
résolution de problème --> proportionnalité simple composée / 3 dimensions
Lecture expressions symbolique
sens "fois" et "multiplié par"
commutativité permet emploi "fois" mais attention aux contextes (salaire horaire)
Lexique
produit --> écriture (a x b) + résultat
facteur --> terme produit (pas indispensable avant collège)
Division
Expressions symboliques
division euclidienne fournit 2 résultats
utiliser notations : x
q
y = z et x
r
y = w ou x = y*z + w
PAS
x : y= z reste w
signe légitime pour résultat entier/décimal/décimal approché
résultats avec calculette difficiles à interpréter (arrondi/troncature)
Lexique
quotient
reste
dividende
diviseur
Calcul multiplications + divisions
Résultats + procédures de base
calcul produits avec 0 ou 1
produit/quotient par 10/100
produits entiers avec unités/dizaines
créer intérêt situation pour mieux mémoriser
Connaissance tables
donner instantanément produits 2 nombres < 10
pour résultat --> trouver 1 facteur sur 2 produit avec lexique "fois" et "quotient"
Lier résultats pour faciliter mémorisation
commutativité
spécificité tables
linéarité résultat mémorisé pour trouver suivant dans tables
Propriétés opérations + calcul réfléchi
calcul en ligne quotient-->décomposer pour quotients sans reste
nécessite mise en oeuvre propriété des opérations
difficultés choix + exécution procédure
calcul mental quotient --> multiplier pour faciliter calcul
Technique opératoire multiplication
Difficultés
résultats incorrects + oubli retenus/ajout retenu après produit
mauvais algorithme (addition..)
Travailler sens calculs + gestion retenue + diff avec addition+ sens produits partiels
algo de gauche à droite pour nombre du bas
Retravailler signification produits partiels
(représentation avec rectangle)
oubli ajout 0 résultats intermédiaire
calculer ordre de grandeur résultat + retrouver signification chaque ligne de calcul
SOLUTIONS
Connaissances sous-jacentes à technique multiplication
mémorisation tables multiplication
décompo nombres en base dix
repérage valeur chiffres selon position dans écriture nombre
associativité + distributivité multiplication
règle des 0
Progression :
multiplication par nombre à 1 chiffre
// par un nombre base 10
// deux nombres quelconques
Technique opératoire division
Difficultés
seul algo avec calculs de gauche à droite
demande faire divisions + multiplications+ soustraction --> bonne aisance calcul mental + connaissance tables + mémorisation résultats partiels
nécessité poser soustractions partielles sinon retenues > 1 (pas habituel)
chiffres successifs quotient sont approximations --> pas définitif donc nécessite tâtonnement (produits partiels par dichotomie)
Connaissances sous-jacentes à technique multiplication
repérage valeur chiffres selon position //
tables multiplication
calcul approché (tâtonnement)
calcul produits + différences
Progression
:
division par nombre <10
par nombre > 10
division décimale de 2 entiers
division décimale d'un décimal par un entier
Approche notion de multiple
C2
: "double" et "moitié" --> CP pour petits nombres
C3
: "multiple" + critères divisibilité par 2,5,20 puis 3,9
Procédures
chercher si dans table en comptant de n en n (partant de 0 / multiple connu)
tâtonnement nombres k pour produit n*k
division par n
critères de divisibilité
Difficultés
confusion multiple/multiplication
inversion sens "est multiple de"
mauvaise exploitation/corrélation connaissance table et critère divisibilité (tient compte que du dernier chiffre pour critère)
Problèmes à l'école
tient compte que notion multiple
sur parcours avec avancé de x pas, je tombe sur y ?
fait appel à notion multiple commun
rectangle x et y dimensions --> carré quel dimension pour correspondre ? (x et y doivent être multiple) --> tâtonnement