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SUPERFICI PARAMETRICHE - Coggle Diagram
SUPERFICI PARAMETRICHE
CURVE PARAMETRICHE
$$ X(U) = X(u,v) = (x(u,v) , y(u,v) , z(u,v) ) ^{T} $$
$$ U = ( u , v)^{T} \in [a,b] x [c,d] \subset \mathbb{R}^2$$
data una griglia, connetto punti
facce quadrangolari
CURVE ISO PARAMETRICHE
fisso una direzione e muovo l'altra
PARAMETRIZZAZIONE REGOLARE
MATRICE JACOBIANA
matrice con derivate parziali (u a sinistra, v a destra)
rango massimo 2
esiste piano tangente
posso definire versore normale alla superficie
$$ n = \frac{X_u \wedge X_v } { | X_u \wedge X_v| } $$
Curve su superficie
curva nel dominio parametrico
$$ X: A -> \mathbb{E}^3 $$
$$ C(t) = X (u(t)) = (x(u(t),v(t)) , y (u(t),v(t)), z (u(t),v(t)) )^{T} $$
tangente alla curva
sulla superficie
$$ \frac {dC(t)}{dt} = \frac {\delta X du} {\delta u dt} + \frac {\delta X dv} { \delta v dt} = X_u \dot{u} + X_v \dot{v}$$
PRIMA FORMA
FONDAMENTALE
$$ | \frac {dC(t)}{dt}|^2 = E \dot{u}^2 + 2 F \dot{u}\dot{v} + G \dot{v}^2 $$
$$ F = X_u * X_v $$
$$ G= X_v * X_v $$
$$ E = X_u * X_u $$
permette di calcolare
lunghezza arco curva superficie
area
lunghezza $$ \int_0^t \sqrt {E \dot{u}^2 + 2 F \dot{u} \ dot{v} + G \dot{v}^2} dt $$
area
$$ \int \int \sqrt{EG - F^2} $$
piano tangente e
versore normale
$$ Y(u,v) = X(u,v) + \Delta u X_u(u,v) + \Delta v X_v(u,v) $$
$$ n(x,y) = \frac{X_u(u,v) \wedge X_v(u,v)}{|X_u(u,v) \wedge X_v (u,v)} $$
SECONDA FORMA
FONDAMENTALE
$$k_n = L \dot {u}^2 + 2 M \dot{u} \dot{v} + N \dot{v} ^2 $$
$$ M = X_{uv} * n $$
$$ N = X_{vv} * n $$
$$ L =X_{uu} *n $$
per calcolare
curvatura normale e curvatura di Gauss
come la superficie è curvata nello spazio in cui è immersa
curvatura gaussiana
$$ K= \frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$
curvatura media
$$ H = \frac{EN+GL-2MF}{2(EG-F^2)}$$
TENSOR PRODUCT
spazio funzione bivariate che sono combinazioni lineari delle funzioni prodotto
DI BEZIER
$$ x(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m b_{ij}B_i^n(u)B_j^m(v)$$
PROPRIETA'
ereditate da curve
partizione unità
invarianza trasformazioni affini
convex hull
NO VARIATION DIMINISHING
ALGORITMI
Degree Elevation
(n+1,m)
Algoritmo univariato
$$ X(u,v) = \sum_{j=0}^m \sum_{i=0}^{n+1} c_{i,j} B_i^{n+1}(u)B_j^m(v) $$
$$ c_{i,j} = \frac {i} {n+1} b_{i-1,j} + ( 1 - \frac {i} {n+1}) b_{i,j}$$
$$i=0,...,n+1; j=0,...,m $$
(n+1,m+1)
Algoritmo in entrambe le direzioni
$$ X(u,v) = \sum_{j=0}^{m+1} \sum_{i=0}^{n+1} d_{i,j} B_i^{n+1}(u) B_j^{m+1}(v) $$
$$ d_{i,j} = (\frac{i}{n+1}, 1 - \frac {i}{n+1}) (b_{(iori-1),j-1}; b{(iori-1),j})( \frac {j}{m+1}, 1- \frac {j} {m+1})^{T} $$
ogni pdc è interpolazione bilineare di 4 pdc originali
De Casteljau
interpolazione bilineare fra 4 punti
procedendo in parallelo
$$ b_{ij}^{rs}= (1-u,u)[b_{(i or i+1),j}^{r-1,s-1}; b_{(i or i+1),j+1}^{r-1,s-1}](1-v,v)^{T} $$
prima in una direzione, poi nell'altra
$$ b_{i,j}^{r,s-1}= (1-u) b_{i,j}^{r-1,s-1} + u b_{i+1,j}^{r-1,s-1} $$
$$ b_{i,j}^{r,s} = (1-v) b_{i,j}^{r,s-1} + v b_{i,j+1}^{r,s-1} $$
Controllo pseudo locale
sposto $$b_{k,l} $$
parte che risente maggiormente dello spostamento è quella nelle vicinanze di
$$ u= \frac{k}{n} $$ e $$ v= \frac {l}{m} $$
CURVE DI BORDO
Sono curve di Bezier Polinomiali
i 4 corner appartengono alla superficie
DERIVATE
segue le regole del caso
lineare
primo ordine
$$\frac {\delta}{\delta u }X(u,v)=\sum_{j=0}^m[\frac{\delta}{\delta u} \sum_{i=0}^n b_{i,j}B_i^{n}(u)]B_j^{m}(v) 0 n \sum_{j=0}^m \sum_{i=0}^{n-1} \Delta^{(1,0)}b_{i,j}B_i^{n-1}(u)B_j^m(v)$$
$$ \frac {\delta}{\delta v}X(u,v)= \sum_{i=0}^n [ \frac {\delta}{\delta v} \sum_{j=0}^{m} b_{i,j} B_j^{m}(v)]B_i^{n}(u) = m \sum_i=0^{n} \sum_{j=0}^{m-1} \Delta^{(0,1)}b_{i,j}B_i^n(u)B_j^{m-1}(v)$$
ordine superiore
sempre seguendo il caso lineare in direzione u e direzione v
miste
$$ \frac {\delta^{r+s}} {\delta u^{r} \delta v^{s}} X(u,v) = \frac {n!m!}{(n-r)!(m-s)!} \sum_{i=0}^{n-r} \sum_{j=0}^{m-s} \Delta^{(r,s)}b_{i,j}B_i^{n-r}(u)B_j^{m-s}(v) $$
$$ \Delta^{(r,s-1)}b_{i,j} = \Delta^{(r-1,s-1)}b_{i+1,j}- \Delta^{(r*1,s-1)}b_(i,j) $$
$$ \Delta^{(r,s)}b_{i,j} = \Delta^{(r,s-1)}b_{i,j+1} - \Delta^{(r,s-1)}b_{i,j} $$
CONDIZIONI DI RACCORDO
importante per superfici multipatch
C1
derivate coincidenti nella curva di bordo
IN TUTTE E DUE LE DIREZIONI
derivate seconde miste coincidenti lungo la comune curva di bordo
G1
stesso piano tangente lungo la curva di bordo
sto rilassando dove devo posizionare i punti
C0
curva di bordo in comune
coincidenza pdc lungo direzione di raccordo
B SPLINE
$$x(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m d_{i,j}N_{i,k}(u) N_{j,l}(v)$$
PROPRIETA'
invarianza per trasformazioni affini
località
strong convex hull
ALGORITMI
De Boor
posso ridurre al caso univariato e tensorizzare
direzione per direzione
due passi assieme
Knot Insertion
direzione per direzione
per avere griglie più fini
$$ S_1 \otimes S2 $$
$$ f(u,v) =\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n c_{ij} B_i^A(u) B_j^B(v) $$
slego il ruolo di u da quello di v
si riducono i calcoli
in spazi unidimensionali
Curve di bordo
$$ u=a_A --> X(a_A, v) $$
$$v=a_B --> X(u,a_B) $$
$$u=b_A --> X(b_A,v) $$
$$v=b_B --> X(u, b_B)$$
Corner
$$x(a_A,a_B)$$
$$ x(a_A,b_B)$$
$$x(b_A,a_B)$$
$$x(b_A, b_B)$$
RAZIONALI
Bezier Razionali
analogo alle curve
$$ X(u,v) = \frac {\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^m \beta_{i,j} b_{i,j} B_i ^n(u) B_j^m(v)} {\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m \beta_{i,j} B_i^n(u)B_j^m(v)} $$
NURBS
non uniform rational B spline
$$ X(u,v) = \frac {\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m \beta_{i,j} d_{i,j} N_{i,k}(u) N_{j,l}(v)} {\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m \beta_{i,j }N_{i,k}(u)N_{j,l}(v)} $$