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CURVE B-SPLINE (e NURBS) - Coggle Diagram
CURVE B-SPLINE (e NURBS)
B- SPLINE
Generlizzano polinomi di Bernstein
definite ricorsivamente
$$ N_{i,r}(t) = w_{i,r} (t) N_{i,r-1} (t) + [ 1- w_{i+1,r} (t)] N_{i+1,r-1} (t) $$
$$ w_{i,r} (t) = (t-t_i) / (t_{i+r-1} - t_i) ; t< t_{i+r-1}$$
$$N_{i,1}(t) = 1 ;t€[t_i, t_{i+1}) $$
Definita sempre da k+1 nodi
LINEARI
k=2, 3 nodi
2 sottointervalli
QUADRATICHE
k=3, 4 nodi
3 sottointervalli
PROPRIETA'
Supporto Locale
è non nulla solo tra ti e t_{i+k}
Non negatività
$$ N_{i,r}(t) >= 0 ; \forall t \in \mathbb{R}$$
Partizione dell'unità
$$ \sum_{i=0}^{n+k-r} N_{i,r}(t) = 1$$
B-spline nodi multipli
ogni $$\tau_i$$ può essere ripetuto con molteplicità $$m_i$$
i nodi interni possono coincidere
B-spline generalizzate
Nel nodo corrispondente alla molteplicità m_i passo a regolarità m-m_i
considero spazio + grande
CURVE B-SPLINE
$$ x(t):= \sum_{i=0}^n d_i N_{i,k}(t) $$
$$ t \in [t_{k-1}, t_{n+1} ] $$
i pdc sono n+1
non legato al grado della mia spline
PROPRIETA'
Località
Strong Convex Hull
Invarianza trasformazioni affini
Variation Diminishing
ALLINEO k-1 pdc
curva si adagia sulla retta congiungente i pdc allineati
Spazi polinomiali a tratti
$$ P_{m,\pi} =[ f: [a,b] --> \mathbb{R} : f_{|I_i} € \pi_m, i=0, ..., L-1]$$
ad ogni intervallo un polinomio diverso
NON BREAK POINTS
SPAZI SPLINE
Classiche
$$ S_{m, \tau} := [f€P_{m,t} : f_{\tau_i^{-}}^{(j)}=f_{\tau_i^{+}}^{(j)}, j=0,...,m-1; i=1,...L-1 ]$$
Massima regolarità possibile in tutti i Break Point
Generalizzate
La regolarità dipende dalla molteplicità $$ m_i $$
Se non voglio aumentare il grado, posso aumentare i BREAK POINTS
$$ S_{m, \tau, m} := [ f € P_{m,\tau} : f_{(\tau_i^+)}^{(j)} = f_{(\tau_i^-)}^{(j)}, j=0,...,m-m_i; i=1,...,L-1] $$
VETTORE ESTESO DEI NODI
$$ t= [ t_0, ... , t_{k-2}, t_{k-1}, ... , t_{n+1} , t_{n+2}, ..., t_{n+k} ] $$
k-1 nodi crescenti,
L+1 nodi strettamente crescenti
k-1 nodi crescenti
A COSA SERVONO I NODI AUSILIARI?
coprire primo e ultimo sottointervallo
le funzioni spline di base prtono da t0 a tn
[il supporto aumenta aumentado il grado]