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CURVE DI BEZIER RAZIONALI - Coggle Diagram
CURVE DI BEZIER RAZIONALI
Perchè?
+ FLESSIBILITA'
Bisogna saperla gestire
Scelte Automatiche
DEFINIZIONE
$$ \sum_{i} \beta_i b_i B_i^n(t) / \sum_{i} \beta_i B_i^n(t) $$
proiettata in $$E^2$$ passando da coordinate omogenee ad affini
vale anche nello spazio
PROPRIETA'
ESTREMI
End Point Interpolation
verificata di nuovo
Tangenza punti estremi pdc
curva parte tangente ma il suo modulo è scalato
$$ d/d_t x(0) = n \beta_1 / \beta_0 (b_1 - b_0) $$
$$ d/d_t x(1) = n \beta_{n-1} / \beta_n (b_n - b_{n-1} ) $$
Riscrivo curva $$ \sum_i^n b_i u_i^n (t) $$
$$ U_i^n (t) = \beta_i B_i^n (t) / w(t) $$
$$ w(t) := \sum_{i}^n \beta_{i} B_i^n (t) $$
NON NEGATIVITA E PARTIZIONE DELL'UNITA VALGONO
se valgono queste, valgoo anche le seguenti
convex hull
invarianza per trasformazioni affini
variation dimiishing
simmetria
controllo pseudolocale
MODIFICA DI UN PESO
$$ \beta_k --> \beta_k + \delta \beta_k $$
la curva cambia tutta
influenza maggiore verso il k pdc
a seconda del modulo di $$ \delta \beta_k $$
$$>0$$
ci si avvicina a bk
< 0
ci si allontana da bk
$$ \tilde x(t) = \sum \tilde \beta_i b_i B_i^n (t) / \tilde w(t)$$
ARCHI DI CONICHE
considero Bezier razionale quadratica, pesi agli estremi uguale a 1
COORDNATE BARICENTRICHE
$$ u_0^2 (t) = B_0^2(t) / w(t) $$
$$ u_1^2 (t) = \beta_1B_1^2(t) / w(t) $$
$$ u_2^2 (t) = B_2^2(t) / w(t) $$
beta1 <1 ellisse
beta1 = 1 parabola
beta > 1 iperbole