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GEOMETRIA PLAMA, La geometría plana es una rama de la geometría que…
GEOMETRIA PLAMA
La geometría plana es una rama de la geometría que estudia las propiedades y relaciones de figuras en un plano bidimensional. Se centra en elementos como puntos, líneas, polígonos (triángulos, cuadriláteros, etc.), círculos y otros objetos geométricos que se encuentran en una superficie plana.
EL CIRCULO
Un círculo es una figura geométrica plana compuesta por todos los puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. Esa distancia constante se denomina radio. El círculo incluye el área dentro de su perímetro.
CARACTERISTICAS PRINCIPALES
Definición:
Un círculo es el conjunto de puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro..
Centro: Punto fijo desde el cual se miden todas las distancias hacia la circunferencia.
Radio(r):Distancia entre el centro y cualquier punto del círculo.
Diámetro(d):Distancia máxima entre dos puntos del círculo que pasa por el centro. Es el doble del radio (d=2r).
Circunferencia: Longitud del borde del círculo.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia, sin pasar necesariamente por el centro.
Arco: Porción de la circunferencia.
Sector circular: Región delimitada por dos radios y un arco
Segmento circular: Región delimitada por una cuerda y un arco.
Propiedades Geométricas:
Todos los radios de un círculo tienen la misma longitud.
El diámetro divide el círculo en dos mitades iguales (semicírculos).
FORMULAS
Fórmulas básicas
Circunferencia (C):
C=2πr
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Relaciones entre diámetro, radio y circunferencia
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Segmento circular
Área de un segmento circular (parte del círculo delimitada por un arco y su cuerda): Asegmento=r²(θ−sin(θ))/2
Donde θ está en radianes y representa el ángulo subtendido por el arco.
Sector circular
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FORMULAS
EJERCICIOS
Encuentra la circunferencia
Si el radio de un círculo es r=7cm, calcula la circunferencia.
Solución:
Fórmula: C=2πr
C=2π (7) =14π≈43.98cm
.Área del círculo
Calcula el área de un círculo con radio r=5 m
Solución: Escriba aquí la ecuación.
Fórmula: A=πr²
A=π(5²)=25π≈78.54 m².
3.Radio a partir del área
Si el área de un círculo es A=314 cm², encuentra el radio.
Solución:
A=πr²
314=πr²
r²=314/π≈100.
r=10 cm
4.Diámetro a partir de la circunferencia Si la circunferencia de un círculo es C=62.8 cm, calcula el diámetro.
C=πd
d=C/π=62.8/π≈20cm
Arco de un círculo
Encuentra la longitud de un arco subtendido por un ángulo de 60º en un círculo de radio 12 cm.
Solución:
Fórmula: L=θ/(360º)
2πr
L =60/360
2π(12)=1/6*24π=4π≈12.57cm
6.Área de un sector
Calcula el área de un sector subtendido por un ángulo de 90º en un círculo de radio 8 cm.
Solución:
Asector =θ/(360º )
πr².
A=90/360
π(8²) = 1/4*64π=16π≈50.27cm²
7.Área del segmento
En un círculo de radio 10 cm, calcula el área del segmento formado por un ángulo de 60º.
Solución:
Área del segmento = Área del sector - Área del triángulo.
Asector=60/360
πr²=1/6
π(10^2 )=100π/6≈52.36
Atriaˊngulo=1/2 r^2 sin(θ)=1/2(10²)sin(60º)=50 * (√3)/2≈43.30
Asegmento ≈52.36−43.30=9.06cm2².
Teorema de Pitágoras en círculos
Distancia entre cuerdas y el centro
Una cuerda de 16 cm está a 6 cm del centro de un círculo. Encuentra el radio.
Solución: Usa Pitágoras en el triángulo formado por el radio, la distancia y la mitad de la cuerda.
r²=(6)²+(8)².
r²=36+64=100
r=10 cm.
9.Radio de un círculo inscrito
Calcula el radio de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado 12 cm.
Solución:
r=Área/semiperimetro.
Área=√3/4(12²)=36√3
semiperimetro=12.3/2=18.
r=(36√3)/18=2√3cm.
10.Ecuación estándar del círculo
Encuentra la ecuación del círculo con centro en (2,−3) y radio 5.
Solución:
Fórmula:(x−h)²+(y−k)²=r²
(x−2)²+(y+3)²=25
11.Centro y radio a partir de la ecuación
Encuentra el centro y el radio del círculo dado por x²+y²−4x+6y−12=0
Solución:
Completa cuadrados:
(x²−4x)+(y²+6y)=12
(x−2)²−4+(y+3)²−9=12
(x−2)²+(y+3)²=25.
Centro: (2,−3),radio: 5.
POLIGONOS
Un polígono es una figura geométrica plana que está delimitada por una serie de segmentos de recta consecutivos que forman una línea cerrada. Estos segmentos se llaman lados, y los puntos donde se unen los lados se llaman vértices. Los polígonos tienen una serie de propiedades y clasificaciones dependiendo del número de lados, la longitud de estos, y los ángulos que forman.
CARACTERISTICAS PRINCIPALES
Los polígonos son figuras geométricas planas cerradas formadas por un número finito de segmentos de línea recta llamados lados.
Lados: Segmentos de línea que delimitan el polígono.
Vértices: Puntos donde se encuentran dos lados consecutivos.
Ángulos internos: Ángulos formados en el interior del polígono por dos lados consecutivos.
Ángulos externos: Ángulos formados por la extensión de un lado y el lado adyacente.
Diagonales: Segmentos de línea que conectan dos vértices no consecutivos.
Clasificación según el número de lados
Triángulo: 3 lados.
Cuadrilátero: 4 lados.
Pentágono: 5 lados.
Hexágono: 6 lados.
Y así sucesivamente.
Clasificación por regularidad:
Regulares: Todos los lados y ángulos internos son iguales. Ejemplo: un hexágono regular.
Irregulares: Los lados y/o ángulos internos no son iguales. Ejemplo: un trapecio.
Clasificación por convexidad
Convexos: Todos sus ángulos internos son menores de 180°. Ejemplo: un cuadrado
Cóncavos: Al menos uno de sus ángulos internos es mayor de 180°. Ejemplo: una estrella de cinco puntas.
Propiedades generales
Suma de los ángulos internos:
La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es:
S=180º×(n−2)
Ángulo interno (regular):
En un polígono regular, el tamaño de cada ángulo interno es:
Àngulo interno =180º×(n−2)/n
FORMULAS
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Diagonales:
El número de diagonales en un polígono de n lados es:
D=n(n−3)/2
CUADRILATEROS
Un cuadrilátero es una figura geométrica plana que tiene cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos. Es un tipo de polígono, y su forma puede variar dependiendo de las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos.
CARACTERISTICAS PRINCIPALES
Un cuadrilátero es una figura geométrica plana que tiene cuatro lados.
Lados
Está formado por cuatro segmentos de línea recta.
Los lados pueden ser iguales o de diferentes longitudes.
Vértices
Tiene cuatro vértices, que son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos
Posee cuatro ángulos interiores cuya suma siempre es igual a 360 grados.
Diagonales
Un cuadrilátero tiene dos diagonales, que son segmentos de línea que unen vértices opuestos.
Clasificación
Los cuadriláteros se clasifican en dos grandes grupos:
Cuadriláteros convexos: Todos los ángulos interiores son menores de 180 grados.
Cuadriláteros cóncavos: Al menos uno de los ángulos interiores es mayor de 180 grados.
Tipos Comunes de Cuadriláteros
Paralelogramos: Lados opuestos paralelos (e.g., cuadrado, rectángulo, rombo, romboide).
Trapecios: Al menos un par de lados paralelos.
Trapezoides: Ningún par de lados es paralelo.
Simetría
Algunos cuadriláteros (como el cuadrado y el rombo) tienen ejes de simetría y propiedades geométricas especiales.
FORMULAS
Perímetro de un cuadrilátero cualquiera: P=a+b+c+d
Donde a,b,c,d son las longitudes de los cuatro lados.
Área de un cuadrilátero cualquiera (conocidos los lados y un ángulo entre ellos):
A=1/2
d1
d2*sin(θ)
Donde d1 y d2 son las diagonales, y 𝜃
es el ángulo entre las diagonales.
Área de un paralelogramo:
A=b*h
Donde 𝑏 es la base y h la altura.
Área de un rectángulo:
A=b*h
Donde 𝑏 es la base y h la altura.
Área de un rombo:
A=d1*d2 / 2
Donde d1 y d2 son las longitudes de las diagonales.
Área de un trapecio:
A=(b1+b2)*h / 2
Donde b1 y b2 son las bases (lados paralelos), y h es la altura.
EJERCICIOS
Perímetro de un rectángulo:
Un rectángulo tiene lados de 8 cm y 5 cm. ¿Cuál es su perímetro?
solución:
P=2.(8+5)=26cm.
Perímetro de un rombo:
Un rombo tiene lados de 6 cm. ¿Cuál es su perímetro?
Solución:
P=4.6=24cm.
Área de un cuadrado: Un cuadrado tiene un lado de 7 cm. ¿Cuál es su área?
Solución:
A=7²=49cm²
Área de un rombo:
Un rombo tiene diagonales de 10 cm y 8 cm. ¿Cuál es su área?
Solución:
A=10.8/2=40 cm²
Área de un trapecio:
Un trapecio tiene bases de 10 cm y 6 cm, y altura de 5 cm. ¿Cuál es su área?
Solución:
A=(10+6).5/2=40 cm²
Área con coordenadas:
Calcula el área de un cuadrilátero con vértices en (0,0),(4,0),(4,3),(0,3).
Solución:
Es un rectángulo. A=base . altura =4.3=12.
Construcción de un rombo:
Traza un rombo con diagonales de 8 cm y 6 cm. Calcula su área.
Solución:
A=8.6/2=24cm²
Construcción de un trapecio isósceles:
Dibuja un trapecio isósceles con bases de 10 cm y 6 cm, y una altura de 4 cm. Calcula su área.
Solución:
A=(10+6).4/2=32cm².
En un paralelogramo, los lados adyacentes miden 10 cm y 7 cm. ¿Cuál es su perímetro?
Solución:
P=2.(10+7)=34cm
Un trapecio tiene bases de 12 cm y 8 cm, y altura de 5 cm. Calcula su área y perímetro si los lados inclinados miden 6 cm.
Solución:
A=(12+8).5/2=50cm²;P=12+8+6+6=32cm.