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SIMULACIÓN MONTECARLO Y CADENA DE MARKOV, Números aleatorios, Iteraciones…
SIMULACIÓN MONTECARLO Y
CADENA DE MARKOV
Las cadenas de Markov
son modelos matemáticos que describen procesos estocásticos es ddecir aleatorio donde la probabilidad de pasar a un estado futuro depende únicamente del estado actual, y no de cómo se llegó allí.
Propiedades
Matriz de Transición: Cada cambio de estado está definido por una matriz p, donde p, indica la probabilidad de ir al estado i al estado j
Estados importantes
IRREDUCTIBLE, PERIODICO , ABSORVBENTE
Propiedad de Memoria de Markov sin memoria: La probabilidad de transición solo depende del estado presente
Distribución estacionaria (π): Es el estado a largo plazo del sistema, donde la probabilidad de estar en cualquier estado no cambia con el tiempo
Usos de las Cadenas de Markov
Predicción:Modelan sistemas donde el futuro depende del estado actual, como el clima o patrones de comportamiento.
Procesos Estocásticos:Simulan cambios aleatorios en áreas como finanzas, biología, y poblaciones.
Análisis de Redes:Clasificación de páginas web (PageRank) y tráfico en redes de comunicación.
Simulaciones:Evaluación de riesgos y optimización en sistemas industriales o logísticos.
Estados Especiales
Absorbente: Una vez alcanzado, no se puede salir (por ejemplo, estado de "finalización").
Transitorio: Estados que eventualmente se abandonan y no se vuelven a visitar.
Recurrente: Estados que siempre se vuelven a visitar después de un tiempo.
Tipos de Cadenas de Markov
Homogéneas: Las probabilidades de transición son constantes en el tiempo.
No homogéneas: Las probabilidades de transición cambian en diferentes periodos.
De tiempo discreto: El sistema evoluciona en pasos discretos.
De tiempo continuo: Los cambios ocurren en un intervalo continuo de tiempo
Ventajas
Modelo simple pero poderoso para analizar sistemas con dependencia limitada al presente.
Fácil de implementar con matrices de transición y algoritmos iterativos.
Definición
La simulación de Montecarlo
es una técnica matemática utilizada para estimar el comportamiento de sistemas complejos mediante la generación de números aleatorios. Esta metodología permite resolver problemas que tienen una incertidumbre o aleatoriedad en sus variables, haciendo simulaciones repetidas para obtener una distribución de posibles resultados.
Conceptos básicos
Son números generados de manera que no siguen un patrón predecible, pero distribuidos de manera uniforme en un rango determinado. Se utilizan en la simulación para representar variables inciertas o aleatorias.
La simulación de Montecarlo generalmente se ejecuta en un número elevado de iteraciones o repeticiones. Cuantas más iteraciones se realicen, más precisa será la estimación del resultado final, ya que se cubren más posibilidades del sistema.
La simulación de Montecarlo se usa en una gran variedad de campos, tales como:
Finanzas
Ingeniería
Investigación operativa
Ciencias de la computación
Ciencias naturales y biología
Ejemplo
Imagina un cuadrado de 2x2, dentro del cual se inscribe un círculo con radio 1 (su área es π). Si lanzamos puntos aleatorios dentro del cuadrado, algunos de esos puntos caerán dentro del círculo, y otros fuera. La proporción de puntos dentro del círculo respecto al total de puntos lanzados se aproxima a la fracción del área del círculo sobre el área total del cuadrado, que es π/4.
Pasos del ejemplo
Verificamos si los puntos caen dentro del círculo de radio 1. La condición es (x^{2}+y^{2}\le 1)
Calculamos la proporción de puntos dentro del círculo. La estimación de π será 4 veces esta proporción.
Generamos puntos aleatorios dentro del cuadrado de coordenadas [-1, 1]
Números aleatorios
Iteraciones
Aplicaciones
Usando la simulación de Montecarlo