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Nodo Central: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
1: Fundamentos Teóricos
Definición formal: Ecuación que relaciona una función incógnita con sus derivadas de primer orden.
Clasificación:
Orden: Número de derivadas más alta.
Linealidad: Presencia o ausencia de términos no lineales en la función incógnita y sus derivadas.
Homogeneidad: Ausencia de términos independientes de la función incógnita.
Coeficientes: Constantes o funciones de la variable independiente.
Existencia y Unicidad:
Teorema de Picard-Lindelöf: Condiciones suficientes para garantizar la existencia y unicidad de solución.
Intervalos de definición: Dependencia de las condiciones iniciales y de los coeficientes.
Soluciones:
General: Familia de curvas que satisfacen la ecuación.
Particular: Miembro específico de la familia de soluciones que cumple con una condición inicial.
Singular: Soluciones que no se obtienen de la solución general.
2: Métodos de Resolución
Separación de variables:
Condiciones de aplicabilidad.
Ejemplos detallados.
Lineales:
Factor integrante.
Método de variación de parámetros.
Coeficientes indeterminados (método de los aniquiladores).
Exactas:
Condición de exactitud.
Función potencial.
Factor integrante para ecuaciones no exactas.
Homogéneas:
Cambio de variable.
Aplicaciones en mecánica.
Bernoulli:
Reducción a una ecuación lineal.
Aplicaciones en crecimiento poblacional y desintegración radiactiva.
Riccati:
Reducción de orden.
Aplicaciones en circuitos eléctricos.
Métodos numéricos:
Euler: Explícito e implícito.
Runge-Kutta: Ordenes 2, 4 y superiores.
Métodos adaptativos.
3: Aplicaciones en Ciencias e Ingeniería
Mecánica:
Movimiento armónico simple.
Caída libre con resistencia del aire.
Péndulo simple.
Movimiento de proyectiles.
Circuitos eléctricos:
Leyes de Kirchhoff.
Circuitos RC, RL, RLC.
Filtros.
Termodinámica:
Ley de enfriamiento de Newton.
Transferencia de calor.
Biología:
Crecimiento poblacional (Malthus, Verhulst).
Cinética enzimática.
Epidemias.
Economía:
Modelos de oferta y demanda.
Crecimiento económico.
Finanzas:
Modelos de valoración de opciones.
4: Teoría de Sistemas Dinámicos
Sistemas autónomos y no autónomos:
Puntos de equilibrio.
Estabilidad.
Diagramas de fase:
Representación gráfica de las soluciones.
Bifurcaciones:
Cambios cualitativos en el comportamiento del sistema.
5: Transformada de Laplace
Definición y propiedades:
Linealidad, traslación, escalamiento, derivación e integración.
Resolución de ecuaciones diferenciales:
Condiciones iniciales.
Funciones de transferencia.
Aplicaciones:
Sistemas lineales invariantes en el tiempo.
Control automático.
Procesamiento de señales.