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Mapa mental Grau B - Coggle Diagram
Mapa mental Grau B
Laplace
1º - Transformar equação diferencial em algébrica,
transformando cada um dos membros da equação
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3º - A solução da segunda etapa é transformada na solução procurada da equação diferencial utilizando a inversa de Laplace
se f(t), f'(t),....fn-1(t) forem contínuas em [0,infinito], de ordem
exponencial, e se fn(t) for continua por partes em [0, infinito] então sua transformada de Laplace é:
-
Lineares homogeneas
Equaçoes diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes apresentam a
ay" + by" + cy = 0
Raízes Reais Distintas: com a hipótese de que a equação característica possui duas raízes reais distinta m1 e m2
y=c1(m1x)+c2e(m2x)
Raízes Reais Iguais: quando m1 = m2, então a solução e da forma
y=c1e(m1x)+c2xe(m1x)
Raízes Complexas Conjugadas: se m1 e m2 são complexas
podemos escrever m1 = p − qi e m2 = p + qi, onde p e q são numeros reais, chamado de unidade imaginaria, a solução para este tipo de equação sera y = c1e pxcos(qx) + c2e pxsen(qx)
Integrações Sucessivas
1º caso: Equação do tipo y’’ = f(x). Nesse caso a solução é obtida mediante duas integrações
sucessivas
1-Identifique a equação diferencial. Verifique se ela tem derivadas que podem ser integradas diretamente. Se for de ordem superior, reduza a ordem resolvendo uma derivada por vez.
2-Realize a primeira integral. Integre o lado direito da equação em relação à variável independente (geralmente x) ou y. Não esqueça de adicionar a constante de integração (C1)
3-Realize a segunda integral. Repita o processo integrando novamente o resultado para obter y , adicionando mais uma constante de integração (C2)
4-Se existirem condições iniciais, como valores para y (x0) ou dy/dx(x0), substitua na solução para determinar as constantes de integração.
5-Verifique a solução. Derive a expressão final de y e substitua na equação original para garantir que ela seja válida.
Substituição
Equação do tipo y’’ = f(x, y’). Nesses casos, para encontrar a solução substitui-se y’ por
p na equação dada a fim de transformá-la numa equação de primeira ordem.
1-Verifique se a equação tem um formato que pode ser simplificado por substituição. Geralmente, as substituições são usadas quando a equação apresenta:
Relações entre dy/dx, y e x
Um formato homogêneo, onde f(x,y) pode ser escrito como um função de y/x
2-Escolha a substituição apropriada
Para equações homogêneas (f(y/x))
Substitua y=vx, onde v é uma função de x, Issosimplifica y/x em v, eliminando o termo y
Outras substituições comuns:
Se a equação envolve x²+y², use substituições trigonométricas
se há termos exponenciais ou logaritmicos, substitua variáveis como u=e^x ou u=ln(x)
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4- Substitua na equação original
Substitua y=vx e(dy/dx)=v+x(dv/dx) na equação original, Isso resultará em uma equação que depende de v e x, separando as variáveis
Ex: dy/dx=y/x => v+x(dv/dx=v
5- Simplifique a equação
Após a subsgtituição, a equação será simplificada para permitir a separação de variáveis, geralmente no formado dv/dx=g(x,v)
Organize a equação para que v e x fiquem em lados separados
(1/h(xv))dv=g(x)dx
6- Resolva as integrais separadas
Integre ambos os lados para encontrar a solução
|(1/h(v)))dv=|g(x)dx
Calcule as integrais e adicione uma constante de integração (C)
7-Volte para as variáveis originais
Apos integrar, desfaça a substituição para retornar as variáveis originais(y e x)
Substitua x=(y/x) ou a expressão equivalente
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