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Equações Diferenciais Separáveis e Lineares - Coggle Diagram
Equações Diferenciais Separáveis e Lineares
Equação Separável
São equações EDO especiais, onde se pode usar a técnica de separação de variáveis para resolver, onde esse método consiste em isolar uma variável de um lado da igualdade e um do outro lado e depois integrar para poder achar o valor de y que soluciona a equação
dy/dt = g(t)/f(y)
Equação Linear
Esse é um tipo de EDO que é uma combinação linear de y e de alguma de suas derivadas
a1(x)y' + a2(x)y = c(x)
Exemplos
Crescimento Logístico
Podemos usar as EDOs para estudar o crescimento populacional, podemos usar a função exponecial para isso mas ao longo prazo essa função não é mais adequada pois varios fatores podem ocorrer limitando o crescimento, assim utilizamos da seguinte EDO
dp/dt = h(p)p
dp/dt = k(1-p/R)p
R = k/a
Onde h(p) é aproximadamente um k caso p seja suficientemente pequeno e h(p) decresça caso p for suficientemente grande
Essa equação também não é linear mas ainda é possível isolar as variáveis tornando-a separável
https://www.matematica.icen.ufpa.br/images/tccs/TCC_FACMAT_06.pdf
Modelo de Epidemia
Podemos utilizar das EDOs para saber quantas pessoas irão ficar doentes em um determinado tetmpo utilizando da seguinte EDO
dy/dt = ry(1-y)
Note que essa é uma EDO separável mas não é do tipo linear pois ao expandirmos a mesma obtemos
dy/dt = ry - ry^2
Que não se encaixa com a definição de equação linear, mas ainda é um exemplo prático de equação separável pois ainda é possível isolar as variáveis e integrar
Decaimento Radioativo
as EDOs também tem aplicações no estudo do decaimento radioativo dos elementos, utilizando de uma EDO simples
dQ/dt = -λQ
λ é a constante de desintegração do elemento e Q é uma função que indica a quantidade de material radioativo
Circuito RC (Resitor-Capacitor)
Um exemplo de uma EDO linear é o Circuito RC (Resistor-capacitor), usado em sistemas elétricos para modelar o carregamento ou descarregamento de um capacitor em um circuito simples
dV/dt + V/RC = E(t)/R
R é a resistência, C a capacitânica, E(t) a tensão externa e V a tensão do capacitor, e por ser uma combinação linear que envolve y e uma de suas derivadas essa equação é do tipo linear
EDOs podem ser separáveis e lineares ao mesmo tempo, não existe restrição quanto a isso, pois suas definições não conflitam, enquanto uma se refere mais a forma de solução a outra se refere na estrutura da equação em si