Este test es una alternativa al test paramétrico para 𝐻0: 𝛽 = 0 en el modelo de regresión lineal
𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥 + 𝜀 . La hipótesis nula en esta prueba implica que la pendiente de la recta es 0.

Regla de decisión:

A. Para valores suficientemente grandes o valores suficientemente pequeños de 𝑆 la región crítica bajo 𝐻0 es:
𝑝(𝑟 ≤ 𝑡2) ≈ 𝛼⁄2 y 𝑝(𝑟 > 𝑡1) ≈ 𝛼⁄2
Por lo tanto rechazamos 𝐻0 si 𝑆 ≤ 𝑡2 ó 𝑆 > 𝑡1.

B. Para valores muy grandes de 𝑆 significa que 𝐻0 es falsa. La región crítica consiste en todos los valores de 𝑆 mayores a 𝑡1, en términos probabilísticos la región de rechazo es aquella que cumple
𝑝(𝑟 > 𝑡1) = 𝛼
Por lo tanto, rechazamos 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si: 𝑇 > 𝑡1

C. Para valores muy pequeños de 𝑆 significa que 𝐻0 es falsa. La región crítica es:
𝑝(𝑟 ≤ 𝑡2) = 𝛼
Por lo tanto, rechazamos 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si: 𝑇 ≤ 𝑡2

La prueba de U de Mann-Whitney está diseñada para determinar si dos muestras han sido extraídas de la misma población. Sirve como alternativa a la prueba 𝑡 cuando el supuesto poblacional con varianzas iguales no se puede verificar.

Se tienen dos poblaciones 𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥𝑛1 y 𝑦1, 𝑦2 … , 𝑦𝑛2 de tamaño 𝑛1 y 𝑛2 respectivamente.

Las muestras se han tomado aleatoriamente y en forma independiente, no solamente entre los grupos considerados, sino además dentro de cada grupo.
Sea:
𝐹(𝑡) es la función de distribución de probabilidad de 𝑋
𝐺(𝑡) es la función de distribución de probabilidad de 𝑌

Hipótesis
𝐴. 𝐻0: 𝐹(𝑡) = 𝐺(𝑡) ∀ 𝑡 𝑣𝑠 𝐻1: 𝐺(𝑡) ≠ 𝐹(𝑡) para alguna 𝑡
𝐵. 𝐻0: 𝐹(𝑡) = 𝐺(𝑡) ∀ 𝑡 𝑣𝑠 𝐻1: 𝐺(𝑡) > 𝐹(𝑡) para alguna 𝑡
𝐶. 𝐻0: 𝐹(𝑡) = 𝐺(𝑡) ∀ 𝑡 𝑣𝑠 𝐻1: 𝐺(𝑡) < 𝐹(𝑡) para alguna 𝑡

La hipótesis nula prueba que las dos distribuciones son iguales, mientras que las hipótesis alternativas nos dicen si la distribución de 𝑌 tiende a ser más grande o más pequeña que 𝑋 o diferente.

Estadístico de prueba:
Se ordenan las dos muestras combinando los 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 valores de 𝑋 y 𝑌 de menor a mayor.
𝑠1 denota el rango de 𝑦1
𝑠2 denota el rango de 𝑦2
⋮
𝑠𝑛 denota el rango de 𝑦𝑛

Región de rechazo
A. Debe tomarse una región crítica de dos colas, formada por los valores de 𝑈 tales que:
𝑈𝑥 ≤ 𝑘1
𝑈𝑦 ≥ 𝑘2
siendo la región de aceptación la que verifica la igualdad bajo 𝐻0:
𝑃(𝑘1 < 𝑈𝑚 < 𝑘2) = 1 − 𝛼
donde 𝛼 es el nivel de significación.

B. Si la probabilidad 𝑝 obtenida en la tabla U Mann Whitney es tal que
𝑝 <𝛼
se rechaza la hipótesis nula 𝐻0.

C. Si la probabilidad 𝑝 obtenida en la tabla U Mann Whitney es tal que
𝑝 >𝛼
se rechaza la hipótesis nula 𝐻0.

Este test tiene como finalidad verificar si dos muestras independientes proceden de poblaciones con la misma mediana. Es de utilidad cuando no se pueda verificar el supuesto de normalidad requerido para la prueba 𝑡 𝑆𝑡𝑢𝑒𝑛𝑡 para dos muestras independientes

Datos
Se tienen dos muestras aleatorias: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛1 y 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛2
De tamaño 𝑛1 y 𝑛2 que además cumplen con los siguientes supuestos:
• Las dos muestras se han tomado de forma independiente, solamente entre los grupos considerados, sino además dentro de cada grupo
• Las mediciones consideradas alcanzan al menos el nivel ordinal.
Y se ordenan de menor a mayor la muestra conjunta, donde se combinan las observaciones 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖 entre sí, y se determina la mediana muestral de la muestra combinada (Me).
Sea:
𝐹(𝑡) es la función de distribución de probabilidad de 𝑋
𝐺(𝑡) es la función de distribución de probabilidad de 𝑌
Hipótesis
𝐻0: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐹(𝑡) = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐺(𝑡) ∀𝑡
𝐻1: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐹(𝑡) ≠ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐹(𝑡) para alguna 𝑡

Estadístico de prueba
Las observaciones se comparan con la mediana combinada para obtener las frecuencias de observaciones de ambas muestras que exceden a la mediana.
La distribución muestral bajo 𝐻0 es hipergeométrica.

Si el número de casos es pequeño 𝑛 < 30, con frecuencia se utiliza la prueba exacta de Fisher, la cual se basa en el cálculo de la expresión anterior. Para 𝑛 > 30 se puede utilizar la aproximación de una 𝜒 2 con 1 grado de libertad.

El objetivo de este test es el de verificar que dos muestras independientes proceden de poblaciones con distribuciones continuas idénticas. Definimos una racha como una sucesión de símbolos de la misma clase limitada por símbolos
de clase distinta.
Datos
Se tienen dos muestras aleatorias: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛1 y 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛2

Hipótesis
A.
𝐻0 = El patrón de ocurrencia de las dos muestras es determinado por un proceso aleatorio
𝐻1 = El patrón de ocurrencia no es aleatorio

B.
𝐻0 = El patrón de ocurrencia de las dos muestras es determinado por un proceso aleatorio
𝐻1 = El patrón de ocurrencia no es aleatorio (debido a la presencia de pocas rachas)

C.
𝐻0 = El patrón de ocurrencia de las dos muestras es determinado por un proceso aleatorio
𝐻1 = El patrón de ocurrencia no es aleatorio (debido a la presencia de muchas rachas)

Estadístico de prueba
Cuando 𝑛1 y 𝑛2 sean menos a 20
Se combinan las 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 observaciones de menor a mayor y se calcula:
𝑅 = El número de rachas
Región de rechazo
A.
Rechazamos 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si
𝑅 ≤ 𝑅𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 = 𝑅𝑛1,𝑛2,𝛼⁄2 ó cuando 𝑅 ≥ 𝑅𝑚𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑅𝑛1,𝑛2,1−𝛼⁄2

B.
Rechazamos 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si:
𝑅 ≤ 𝑅𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 = 𝑅𝑛1,𝑛2,𝛼⁄2

C.
Rechazamos 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si:
𝑅 ≤ 𝑅maximo= 𝑅𝑛1,𝑛2,𝛼⁄2

Aproximación a la normal
Cuando 𝑛1 y 𝑛2 son mayores a 20 se utiliza una aproximación normal. Se sabe que:

Y utilizando el Teorema del Límite Central se tiene que la variable 𝑧 expresa por:

Se distribuye como una normal estándar ó 𝑁(0,1)
Con región rechazo:
A. Rechaza 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si |𝑍| ≥ 𝑍𝛼/2
B. Rechaza 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si 𝑍 ≥ 𝑍𝛼
C. Rechaza 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si 𝑍 ≤ 𝑍𝛼

La prueba es famosa porque es muy utilizada en pruebas donde existe un antes y un después.

Datos
Los datos consisten de observaciones bivariadas aleatorias (𝑥1, 𝑦1 ), (𝑥2, 𝑦2 ), … , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛 ). La escala de medida de 𝑥𝑖 y de 𝑥1, 𝑦𝑖 es nominal con 2 categorías las cuales llamaremos "0" y "1", esto es, los valores de (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) son (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).

Las muestras cumplen los siguientes supuestos:
• Los pares (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) son mutuamente independientes
• La escala de medida es nominal con 2 categorias para 𝑥𝑖 y 𝑦𝑖

Hipótesis

𝐴
𝐻0: El “tratamiento” no induce cambios significativos en la respuesta, es decir, los campos observados en la muestra se deben al azar; de forma que es igualmente probable un cambio de 𝑥𝑖 a 𝑦𝑖 que un cambio de 𝑦𝑖 a 𝑥𝑖 . Matemáticamente se puede escribir como:
𝑃(𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 = 1) = 𝑃(𝑥𝑖 = 1, 𝑦𝑖 = 0) ∀ 𝑖 / 𝑝1 = 𝑝2
𝐻1: El “tratamiento” induce cambios
𝑃(𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 = 1) ≠ 𝑃(𝑥𝑖 = 1, 𝑦𝑖 = 0) ∀ 𝑖 / 𝑝1 ≠ 𝑝2

𝐵
𝐻0: La característica de interés bajo la condición 1 es mayor que bajo la condición 2
(𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 = 1) ≤ 𝑃(𝑥𝑖 = 1, 𝑦𝑖 = 0) ∀ 𝑖 / 𝑝1 ≤ 𝑝2
𝐻1: La característica de interés bajo la condición 1 no es mayor que bajo la condición 2
𝑃(𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 = 1) > 𝑃(𝑥𝑖 = 1, 𝑦𝑖 = 0) ∀ 𝑖 / 𝑝1 > 𝑝2

𝐶
𝐻0: La característica de interés bajo la condición 1 es menor que bajo la condición 2
𝑃(𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 = 1) ≥ 𝑃(𝑥𝑖 = 1, 𝑦𝑖 = 0) ∀ 𝑖 / 𝑝1 ≥ 𝑝2
𝐻1: La característica de interés bajo la condición 1 no es menor que bajo la condición 2
𝑃(𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 = 1) < 𝑃(𝑥𝑖 = 1, 𝑦𝑖 = 0) ∀ 𝑖 / 𝑝1 < 𝑝2

Regla de decisión
A. Rechaza 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si 𝑇 ≥ 𝜒1,𝛼 2 .Donde 𝜒1,𝛼 2 es cuantil de una distribución 𝜒 2 con un grado de libertad y probabilidad 𝛼
B. Rechaza 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si 𝑇 ≥ 𝑍𝛼. Donde es el cuantil de una distribución normal con probabilidad 𝛼
C. Rechaza 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si 𝑇 ≤ −𝑍𝛼

Suponga que se tienen 𝑟 poblaciones y que se extraen muestras aleatorias de cada una de ellas. El tamaño de cada muestra lo denotamos por 𝑛𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑟). Cada observación de las 𝑟 muestras puede ser clasificada en una de 𝑐 diferentes categorías. Se denotará por 𝑂𝑖𝑗 el número de observaciones de la i-ésima categoría en la j-ésima muestra. Denotamos además por 𝑐𝑖 que es el total de observaciones pertenecientes a todas las muestras que quedan contenidas en la i-ésima categoría.

La información se dispone en forma tabular de la siguiente manera en la siguiente tabla de contingencia

𝑟 × 𝑐

En la tabla se puede verificar lo siguiente:

Se consideran los siguientes supuestos básicos en el planteamiento de hipótesis:
• Las 𝑟 muestras son aleatorias
• Los resultados de las diferentes muestras son mutuamente independientes
• Cada observación puede ser categorizada en una y solo una de las 𝑐 diferentes categorías

Hipótesis
Sea 𝑝𝑖𝑗 la probabilidad de que un elemento de la j-ésima población seleccionado al azar, quede clasificado en la i-ésima categoría

𝐻0: La probabilidad de pertenecer a cualquiera de las 𝑐 clases es la misma para cualquier elemento de la j-ésima muestra
𝑝1𝑗 = 𝑝2𝑗 = ⋯ = 𝑝𝑟𝑗 ∀ 𝑗

𝐻1: La probabilidad de pertenecer a cualquiera de las 𝑐 clases es diferente para al menos una clase
𝑝𝑖𝑗 ≠ 𝑝𝑘𝑗 para al menos una pareja 𝑗 ≠ 𝑘

Estadístico de prueba

Donde:

El término 𝑂𝑖𝑗 representa los valores observados en la celda (𝑖,𝑗), y el término 𝐸𝑖𝑗 representa el número esperado de observaciones en la celda (𝑖,𝑗), cuando 𝐻0 es cierta.

Regla de decisión
Rechazamos 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si 𝑇 excede el cuantil de una 𝜒 2 con probabilidad 1 − 𝛼 y (𝑟 − 1)(𝑐 − 1) grados de libertad, matemáticamente lo podemos expresar como:

Suponga que se dispone de una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 y que las observaciones de la muestra pueden clasificarse de acuerdo a dos criterios. Al usar el primer criterio cada observación puede asociarse con uno de los 𝑟 filas y al usar el segundo criterio la observación puede asociarse con una de las 𝑐 columna.

Los supuestos para este caso son los siguientes:
• Cada observación tiene la misma probabilidad de ser clasificada en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna, independientemente de cualquier otra observación
• Las observaciones pueden ser clasificadas en una de las 𝑐 diferentes categorías de acuerdo al segundo criterio

Hipótesis
𝐻0: El evento “la observación pertenece al i-ésimo renglón” es independiente del evento “la misma observación pertenece a la j-ésima columna” para toda 𝑖 y 𝑗
La proposición anterior puede traducirse en términos probabilísticos de la siguiente forma Sea 𝑝𝑖 la probabilidad de pertenecer al i-ésimo renglón y 𝑝𝑗 la probabilidad de pertenecer a la j-ésima columna

𝐻0: 𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑖 ∗ 𝑝𝑗
𝐻1: 𝑝𝑖𝑗 ≠ 𝑝𝑖 ∗ 𝑝𝑗

Estadístico de prueba

Donde:

Regla de decisión
Rechazamos 𝐻0 al nivel de significancia 𝛼 si 𝑇 excede el cuantil de una 𝜒 2 con probabilidad 1 − 𝛼 y (𝑟 − 1)(𝑐 − 1) grados de libertad, matemáticamente lo podemos expresar como: