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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - Coggle Diagram

- - - - ORDEM
        
        A ordem se diz a respeito da maior derivada da equação.
        
        Lembrando de que a derivada pode ser escrita das formas a seguir:
        
        y^(4) =
      - TIPO
        
        EDO - Equação Diferencial Ordinária
        Uma equação diferencial Ordinária possui até 2 incógnitas
        
        EDP - Equação Diferencial Parcial Uma equação diferencial Parcial possui 3 ou mais incógnitas
      - LINEARIDADE
        
        Não Linear - Equações com potência ou equações multiplicando pela mesma incógnita
        Quando o grau da derivada for diferente de 1 e sempre que possuir o formato
        t.dt/dx
        
        Linear - Uma equação é linear quando não apresenta as situações de uma equação não linear e quando pode ser escrita conforme a imagem abaixo
        Pode ser considerado aquelas que x.dt/dx ou x.(dt^2/dx^2)
      - GRAU
        
        O grau de uma equação é definido pelo maior expoente em que a derivada está elevada
        
        Elevada à 2 =
    - - EXEMPLO
        
        Prove que y = 2⋅x + C⋅e^x é solução da equação diferencial y'-y = 2⋅(1 - x) e encontre a solução particular relativa a x = 0 e y = 3.
        
        Podemos obter o valor de C, sabendo que:
        y = 2⋅x + C⋅e^x
        Substituindo x e y obtemos:
        3 = 2⋅x + C ⋅ e^0
        C = 3
        
        Substituindo o C nas fórmulas obtemos:
        y = 2⋅x + 3⋅e^x
        y' = 2 + 3⋅e^x
        
        Substituindo na fórmula:
        y'-y = 2⋅(1 - x)
        Obtemos:
        2 + 3⋅e^x - 2⋅x - 3⋅e^x = 2 - 2⋅x
        2 - 2⋅x = 2 - 2⋅x
        0 = 0
        
        Portanto o valor dado é a solução da equação e solução parcial relativa é:
        y = 2⋅x + C⋅e^x
  - - - EXPLICAÇÃO
        
        Efetuar a separação das variáveis para deixar as semelhantes dos mesmos lados e, após isso efetuar o processo de integração
        
        EXEMPLO
        
        dy/dx = x⋅y
        
        Efetuando as separações teremos:
        dy/y = x⋅dx
        
        Integrando os dois lados teremos:
        ln(y) = x²/2 +C
        
        e^(ln(y)) = e^(x²/2 +C)
        y = e^(x²/2+C)
        y = e^(x²/2) ⋅ e^C
        
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  - - - POR PARTES
        
        EXPLICAÇÃO
        
        Utiliza-se a integração por partes quando uma função possui dois tipos diferentes de funções elementares. E quando ela segue o padrão da função: ∫u ⋅ dv
        
        FUNÇÕES ELEMENTARES
        
        A - ALGÉBRICAS
        
        2*x, x²
        
        T - TRIGONOMÉTRICAS
        
        sen(t), cos(t)
        
        I - INVERSAS
        
        arcsen(5)
        
        E - EXPONENCIAIS
        
        e^x
        
        L - LOGARÍTMICAS
        
        ln(5)
        
        Após identificar, deve-se substituir parte da função por u e dv, então derivar o u e integrar o dv para obter o valor de du e v
        
        Após encontrar todas variáveis aplica-las na função:
        ∫u ⋅ dv = u ⋅ v - ∫v ⋅ du
        
        EXEMPLO
        
        ∫x ⋅ e^x ⋅ dx
        
        u = x => du = 1/x ⋅ dx
        dv = e^x ⋅ dx => v = e^x
        
        Aplicando na fórmula:
        x ⋅ e^x - ∫e^x ⋅ dx
        
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      - SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMETRICA
        
        TABELA DA SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
        
        EXPLICAÇÃO
        
        Utiliza-se a integral por subtituição trigonométrica quando alguma parte da integral siga algum dos padrões da tabela, citados na primeira coluna
        
        Após identificar a integral, efetuar a substituição do x e do dx, respectivamente pelo padrão utilizado da tabela
        
        Para encontrar o a, deve-se fazer a raiz quadrado do valor, pois, o mesmo está elevado ao quadrado no padrão
        
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        EXEMPLO
        
        ∫((√4 - x²) / x²) dx
        
        a = 2
        x = 2 ⋅ sen(t)
        dx = 2 ⋅ cos(t) dt
        
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        INTREGANDO
        
        √(a² - x²)
        
        √(a² + x²)
        
        √(x² - a²)
        
        1 more item...
        
        SUBSTITUIÇÃO
        
        x = a ⋅ sen(t)
        
        x = a ⋅ tan(t)
        
        2 more items...
        
        IDENTIDADE
        
        sen² (t) + cos² (t) = 1
        
        2 more items...
        
        TRIÂNGULO
        
        1 more item...
      - SUBSTITUIÇÃO
        
        EXPLICAÇÃO
        
        Utilizar o u para substituir por alguma expressão em x e simplificar a integral
        
        Reescreva a integral em termos de u, calculando a derivada de u em relação a x
        
        Calcule a integral resultante e após isso, substituir o u pelo valor principal de x
        
        EXEMPLO
        
        Calcule: ∫(x+1)^5 dx
        
        u = x + 1
        du/dx = 1
        du = dx
        
        ∫u^5 du
        
        1 more item...
        
        E o inverso da regra da cadeia para derivadas
        
        Auxilia a integrar funções compostas
      - DECOMPOSIÇÃO EM
        FRAÇÕES PARCIAIS
        
        EXPLICAÇÃO
        
        Utiliza-se a decomposição em frações parciais quando o grau do numerador for menor ou igual ao grau do denominador e o denominador da fração possa ser decomposto em fatores lineares distintos, por exemplo:
        x³ + x² - 2x
        x (x² + x - 2)
        bhaskara | x1 = -2 | x2 = 1 |
        x (x + 2) (x - 1)
        
        Após decompor, separar a função utilizando n frações, uma para cada fator linear do denominar. Utilizando uma variável genérica (A, B, C, ...) no numerador e um a um dos fatores no denominador
        
        Encontrar os valores das variáveis nos numerador e finalizar as integrais
        
        EXEMPLO
        
        ∫(16x + 4) / (x² - 4) dx
        
        Decompondo o (x² - 4) obtemos:
        (x + 2) ⋅ (x - 2)
        
        Sendo assim, podemos dizer que:
        ∫(16x + 4) / (x² - 4) dx = ∫A / (x+2) dx + ∫B / (x-2) dx
        
        1 more item...
      - TABELA
        
        https://faculdadesftec-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/lucas_molon197_acad_ftec_com_br/EVm8tvV1jUNCsOKy7kplWOQBPHUpG7FHPdeyW__D-_SgOw?e=ldA8BM
  - - - Método de Resolução
        
        Exemplos
        
        Dy/Dx + 3x²y = 6x²
        
        P(x) = 3x²
        I=e∫3x²Dx
        I= e^x³
        
        D/Dx [ e^x³ . y ] = 6x² . e^x³
        e^x³ . y = 2e^x³ + C
        
        Y = 2 + C . e ^x³
        
        3dy/dx + 12y = 4
        
        dividindo tudo por 3:
        dy/dx + 4y = 4/3
        
        p(x) = 4
        I = e^∫4dx
        I = e^4x
        
        Colocando na fórmula:
        ∫d[e^4x . y] = ∫4/3 . e^4x dx
        
        1 more item...
        
        1° Colocar na Forma dy/dx + P(x).y = f(x)
        
        2° Identificar P(x) (sempre o que multiplica y) e Encontrar o Fator Integrante I=e∫p(x)dx
        
        3° Multiplicar Ambos os lados por I
        
        4° d/dx [ e∫p(x)dx . y] = e∫p(x)dx . f(x)
        
        5° Integrar Ambos os Lados
  - - - https://faculdadesftec-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/lucas_molon197_acad_ftec_com_br/EXPOzIZs4zxIuEQaipe_E4sBMsx0eCTndc8chx20sVPUFA?e=Mb9JdI
      - K = taxa de crescimento ou decrescimento
      - C = constante do tempo
- - - - Integrações Sucessivas
        
        1º Caso
        
        TIPO
        
        y'' = f(x)
        
        SOLUÇÃO
        
        Duas integrações sucessivas
        
        EXEMPLO
        
        Encontre a solução geral de:
        y'' + e^2x - cos(x) = 0
        
        d²y/d.x² + e^2x - cos(x) = 0
        
        Separando variáveis:
        d²y = d.x².(cos(x) - e^2x)
        
        1 more item...
      - Substituição
        
        EXEMPLO
        y' = p
        
        2º Caso
        
        TIPO
        
        y'' = f(x, y')
        
        SOLUÇÃO
        
        Substitui-se y' por p na equação a fim de transformar numa equação de 1ª ordem.
        
        EXEMPLO
        
        Encontre a solução geral de:
        x.y'' + y' = 0
        
        Substituindo y' por p:
        x.p' + p = 0
        
        Reescrevendo:
        x . (dp/dx) + p = 0
        
        1 more item...
      - Lineares com coeficientes constantes
        
        TIPOS
        
        Equações Auxiliares
        
        Substituir
        y = e^(m.x)
        y' = m . e^(m.x)
        y'' = m² . e^(m.x)
        
        Substituindo:
        a.y'' + b.y' + c.y = 0
        a.m².e^(m.x) + b.m.e^(m.x) + c.e^(m.x) = 0
        e^(m.x).(a.m² + b.m + c) = 0
        e^(m.x) = 0
        a.m² + b.m + c = 0
        
        Utilizando bhaskhara na fórmula
        a.m² + b.m + c = 0
        Podemos obter 3 tipos de resultados
        
        3 more items...
        
        EXEMPLO
        
        a.y'' + b.y' + c.y = 0
      - Cauchy Euler
        
        Equações Auxiliares
        
        Substituir
        y = x^m
        y' = m.x^(m-1)
        y'' = (m² - m).x^(m-2)
        
        Raízes Conjugadas Complexas
        
        RAÍZES
        
        m=p+-q.i
        raiz(-1) = i
        
        SOLUÇÃO
        
        y = C1. x^p . cos(q . ln(x)) + C2 .x^p . sen(q.ln(x))
        
        EXEMPLOS
        
        Raízes Reais Iguais
        
        RAÍZES
        
        m1 = m2
        
        SOLUÇÃO
        
        y = C1.x^(m1) + C2.x^(m1) . ln(x)
        
        EXEMPLO
        
        Raízes Reais Distintas
        
        RAÍZES
        
        m1 <> m2
        
        SOLUÇÃO
        
        y = C1.x^(m1) + C2.x^(m2)
        
        EXEMPLO
        
        EQUAÇÃO
        
        a.x².(d².y / d.x²) + b.x.(d.y / d.x) + C.y = 0
      - Transformada de Laplace
        
        TRÊS ETAPAS
        
        2) A equação algébrica é resolvida por meio de manipulações algébricas, obtendo-se uma solução da equação algébrica
        
        3) A solução da equação algébrica é transformada na solução procurada da equação diferencial utilizando-se a transformada imersa de Laplace
        
        1) Equação diferencial é transformada em uma equação algébrica, mediante o cálculo da transformada de Laplace
        
        TABELA
        
        https://faculdadesftec-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/lucas_molon197_acad_ftec_com_br/Ee6Cr8rIVwNCtatK-JiZatYB0vsBcqiNJVVnXpj27JrXjA?e=S3Hhq7
      - Transformada de Equações Diferenciais em Equações Algébricas e Transformada Imersa
        
        Usa-se quando tem condições iniciais