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Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales - Coggle Diagram
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones, Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se utilizan comúnmente tres tipos de procedimientos:
Métodos algebraicos
Método de reducción
el método de reducción, consta de los siguientes pasos:
•Se multiplican o dividen los miembros de las dos
ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.
•Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.
•Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.
Método de sustitución
Este método consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.
Método de igualación
Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.
Métodos gráficos
donde cada ecuación del sistema se corresponde con un plano, en el caso de que el sistema sea de tres incógnitas, de forma que las soluciones del sistema coinciden con los puntos de intersección de todos los planos.
Métodos matriciales
basados en el uso de la teoría de matrices
Resolución de un sistema por eliminación gaussiana
Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema:
-Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce una ecuación del tipo:
0x + 0y + cz = k, con k ¹ 0, el sistema es tiene una solución única.
-Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo:
0x + 0y + 0z = k, el sistema carece de solución.
-Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo:
0x + 0y + 0z = 0, el sistema será de infinitas soluciones.
Consta de los siguientes pasos:
•Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los términos independientes.
•Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los términos sean nulos.
•Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución inmediata.
Resolución de un sistema por la matriz inversa
Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes. Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución.
Regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:
•Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
•El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero.
Un sistema de Cramer es siempre compatible determinado (tiene una solución única).
Para calcular la incógnita Xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita Xi según la fórmula:
siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de los coeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes.
Tipos de sistemas lineales
En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:
Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.
Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.
Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla.
