Calculo II
FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
Integrales de funciones vectoriales
ECUACIONES PARAMETRICAS DE UN PLANO
La derivada de una función vectorial
son unas ecuaciones que permiten expresar matemáticamente cualquier plano. Para hallar estas solo se necesita un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a ese plano.
Dados un punto y dos vectores directores de un plano:
La fórmula de las ecuaciones paramétricas de un plano es:
Donde \lambda y \mu son dos escalares, es decir, dos números reales.
Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:
𝑟𝑡 = 𝑓𝑡,𝑔𝑡 ..........𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑟𝑡 = 𝑓𝑡,𝑔𝑡, h𝑡 ....𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
Derivar una función vectorial es simple
La derivada r' de una función vectorial r está definida de la misma manera que para las funciones de valores reales.
Esta es continua r(t) se puede definir casi de la misma manera que para las funciones de valores reales, excepto que la integral es un vector. Entonces podemos expresar la integral de r en términos de las integrales de sus funciones componentes f, g, h.
Longitud de arco
es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión linea
Vectores tangente unitario
es un vector de norma 1que es perpendicular a la curva en algún punto.
Curvatura y Torsión
Torsión
Curvatura
Llamamos vector curvatura de C en el punto P = β(s0), al vector β′′(s0) y curvatura (de flexión), a su módulo ||β′′(s0)||. Definimos además la función curvatura
Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) ̸= 0. Llamamos vector binormal a C en P, al producto vectorial B(s) = T(s) ∧ N(s).
Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador.
Segunda f ́ormula de Frenet-Serret
B′(s) = τ(s)N(s)
