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Chapitre 0: Logique et démonstration - Coggle Diagram
Chapitre 0: Logique et démonstration
Vérité d'une proposition
Une proposition peut être :
Vraie dans
tous
les cas
Fausse dans
tous
les cas
Vraie/Fausse dans certain cas
Principe du raisonnement mathématique : l'IMPLICATION
Un exemple: S'il pleut, la pelouse est humide
Hypothèse
(H): Il pleut
Conclusion
(C): la pelouse est humide
Implication
: S'il pleut, cela implique que la pelouse est humide.
Réciproque
: Si la pelouse est humide, alors il pleut.
Contraposée
: S'il ne pleut pas, la pelouse n'est pas humide.
Équivalence
: A si et seulement si B
Différent type de raisonnements
Raisonnement par l'absurde
On veut démontrer une implication.ex:
H implique C
. On va supposer que H et le contraire de C sont vrai. On aboutit alors à une contradiction, donc la supposition que H et le contraire de C soit vrai est fausse. C'est donc l'implication
H implique C
qui est vraie.
Raisonnement par disjonction de cas
On peut démontrer une propriété en traitant plusieurs cas. :warning:On doit traiter tout les cas possibles. ex *on demande si n(n+3) est pair. Les cas à traiter sont avec n qui est pair et n qui est impair.
Raisonnement par récurrence
On veut valider une proposition
(
noter P(n)
)
qui dépend d'un entier naturel n
3 étapes :
Initialisation
: il existe n0 tel que P(n0) est vraie.
Hérédité
: On suppose que pour n fixé (>= 0),P(n) est vraie. On montre alors que P(n+1) est vraie.
Conclusion
: P(n) est vraie pour tout n >= n0
rappel :