Matrices
se pueden definir como un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas
Operaciones con matrices
Operaciones basicas
Elementos de una matriz
si una matriz tiene m filas y n columnas decimos que la matriz es de orden mxn. Todos los elementos de las matrices se denotan con subíndices a(ij), el valor de i representa la fila y el valor de j la columna.
Tipos de matrices
Existen varios tipos de matrices de acuerdo a su forma y a su contenido
matriz sintetica
matriz triangular superior
matriz triangular inferior
matriz nula
matriz identidad
matriz diagonal
Suma
La suma de matrices es una operación lineal que consiste en unificar los elementos de dos o más matrices que coincidan en posición dentro de sus respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden.
Resta
la resta de matrices se calcula restando los elementos que ocupan la misma posición
dadas las matrices de la misma dimensión A=(ai,j) y B=(bi,j), la operación A-B se define como:
A−B=(ai,j−bi,j)
producto por un escalar
se calcula multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar.
El producto de una matriz A=(ai,j) por un escalar α se define como:
α⋅A=(α⋅ai,j)
Producto entre matrices
Dadas dos matrices A y B de dimensiones m×n y n×p, respectivamente, se define su producto A⋅B como la matriz de dimensión m×p tal que el elemento de la posición fila i y columna j es el resultado del producto de los vectores fila i de A y columna j de B.
Operaciones elementales
Intercambio de filas
La filas i y j de la matriz A se intercambian (con 1≤i,j≤m). Esto se denota por Fi↔Fj, siempre en cuando la primera fila sea 0. se denota como:
F1↔F2
Multiplicar una fila por un escalar ≠ 0
Multiplicar la primera fila por un número cuyo resultado nos de 1 (½) para producir nuevos valores para la fila, La fila j de la matriz A (con 1≤j≤m), se multiplica por un escalar no nulo λ∈F (cuerpo). Esto se denota por λFj→Fj.
suma de fila con producto de otra fila
sumar a una fila un múltiplo no nulo de otra fila. La fila j de la matriz A(con 1≤i,j≤m), se multiplica por un escalar no nulo λ∈F(cuerpo) y se le suma la fila i. Esto se denota por Fi+λFj→Fi.
Rango de una matriz
Es el número de filas o columnas que son linealmente independientes y linealmente, lo cual quiere decir que ninguna de ellas puede expresarse en combinación lineal de las demás, En otras palabras podríamos decir que después de realizar las operaciones elementales para reducir una matriz a su matriz triangular no existe ninguna fila donde todas sus entradas sean ceros.
matriz simetrica
matriz traspuesta
matriz ampliada
Determinante de una matriz
el cálculo del producto vectorial de dos vectores y determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente.
Matriz inversa
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz cuadrada A -1 también de orden n que verifica:
A . A-1 = A-1 . A = I
donde I es la matriz identidad de orden n.
dadas las matrices de la misma dimensión A=(ai,j) y B=(bi,j), la operación A+B se define como:
A+B=(ai,j+bi,j)
b. Cuál es la condición para poder multiplicar dos matrices?
a. ¿Cuál es la condición para poder sumar dos matrices?
las matrices deben coincidir en el tamaño de ambas, deben ser iguales y correctos
en la multiplicación de matrices no se respeta la propiedad conmutativa, para que una multiplicación de matrices con volumen distinto se pueda se debe verificar que Aij Bi*j los valores de Aj y Bi sean iguales, cuando las matrices sean desiguales y la anterior condición se cumplan se pueden realizar la multiplicación, en caso de que las matrices sean de igual volumen también se pueden multiplicar.