Una asociación de hosteleros rurales desea conocer la edad media de los turistas que optan por los alojamientos rurales durante el período estival. Un estudio realizado tres años antes indicaba que esta edad se situaba en los 39 años. Sin embargo, para planificar la campaña turística de este año, se realiza un nuevo estudio seleccionando una muestra de 850 individuos que desean viajar durante sus vacaciones, resultando que la edad media de los que planean pernoctar en alojamientos rurales es de 40,7 años. Sabiendo que la desviación típica de ese estudio fue de 4,8 años, y con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede concluir que la edad media de los visitantes ha aumentado en los tres últimos años?
Estamos ante un problema de contraste de hipótesis para una media, pues solo tenemos una muestra. Planteamos las hipótesis que someteremos a contraste:
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Tenemos un contraste unilateral en el sentido “mayor que”. La hipótesis nula (Ho) plantea que la edad media de los turistas no ha cambiado respecto al estudio anterior de hace unos años, por eso establece la igualdad respecto a la edad que indicaba aquel estudio. Como queremos comprobar si hay evidencias significativas para afirmar que esa edad ha aumentado (el último estudio ha obtenido una edad media de 40,7), la hipótesis alternativa (H1) plantea entonces que la edad media es mayor a 39 años.
Para usar el error típico y el estadístico de prueba adecuados, debemos comprobar si tenemos una muestra grande o pequeña. Como tenemos una muestra grande (n=850 y, por tanto, n >30), seleccionamos el estadístico Z:
Para aplicar estas fórmulas, debemos saber qué datos tenemos:
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Nivel de significación: 95%. Para el cálculo necesitaremos realmente el nivel de significación, pero sabemos que al nivel de confianza NC=0,95 le corresponde: α=0,05 (sabemos que α = 1- NC)
Desviación típica de la población (𝜎𝑥): la desconocemos, no la ofrece el planteamiento del problema. Este es el caso más frecuente con el que nos encontraremos, pero esta dificultad se puede solventar estimándola con la desviación típica muestral (𝑠𝑥) que sí conocemos: 𝑠𝑥 = 4,8
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Debemos ahora comprobar en las tablas para la curva normal el valor de Z que corresponde al nivel de significación 0,05 y compararlo con el Z empírico (Ze) que hemos obtenido de la prueba.
El valor Z que corresponde a α = 0,05 es 1,645. Como 10,328> 1,645 el Z empírico es mayor que el valor crítico (𝑍𝛼), de tal forma que cae en la región de rechazo de H0:
Concluimos que existen evidencias estadísticamente significativas para afirmar, con un nivel de confianza del 95% que la edad media de las personas que optan por los alojamientos rurales ha aumentado en el período considerado.
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