Isometrie
Trasformazione geometrica: Si chiama trasformazione geometrica ogni funzione biunivoca che associa a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso
Trasformazione inversa: Funzione inversa della funzione che definisce la trasformazione
Figura unita: Una figura si dice unita rispetto a una data trasformazione se la sua corrispondente nella trasformazione è se stessa.
La trasformazione che associa a ogni punto P del piano il punto P stesso si chiama trasformazione identica o identità
Trasformazione involutoria: Una trasformazione f si può applicare più di una volta. Per esempio, si può determinare l'immagine di un punto P tramite f e poi l'immagine di f(P) tramite f.
Isometria: Si chiama isometria ogni trasformazione tale che, comunque dati due punti A e B del piano, e detti A' e B' i loro corrispondenti nella trasformazione, risulta A'B'≅AB
Proprietà delle isometrie:
Una isometria trasforma:
- punti allineati in punti allineati;
- rette in rette;
- coppie di rette parallele in coppie di rette parallele;
- coppie di rette incidenti in coppie di rette incidenti;
- un angolo in un angolo a esso congruente.
Invarianti in una isometria:
- l'allineamento dei punti;
- l'incidenza e il parallelismo tra le rette;
- la lunghezza dei segmenti;
- l'ampiezza degli angoli.
Simmetria assiale: Dati un punto P e una retta r, il simmetrico di P rispetto r è:
- il punto P', tale che l'asse di PP' sia r, se P ∉r;
- il punto P stesso, se P∈ r.
La simmetria assiale è la trasformazione che, data una retta r nel piano, associa a ogni punto P il punto P' simmetrico di P rispetto a r.
Proprietà invariantiva di una simmetria assiale:
Ogni simmetria assiale è un'isometria che conserva l'allineamento dei punti, le distanze, l'ampiezza degli angoli, il parallelismo e l'incidenza tra le coppie di rette. Tutti i punti dell'asse di simmetria risultano uniti. Le simmetrie assiali non conservano le direzioni e l'orientamento delle figure
Traslazione: La traslazione di vettore v⃗ è la trasformazione che associa a ogni punto P del piano il punto P', tale che il vettore PP' abbia la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo di v⃗.
Simmetria centrale: Dato un punto O, il simmetrico di un punto P rispetto a O è:
- il punto P', tale che il punto medio di PP' sia O, se Pè diverso da 0
- il punto P stesso, se P=O
La simmetria centrale di centro O è la trasformazione che associa a ogni punto P il punto P' simmetrico di P rispetto a O.
Rotazione: Dato un angolo orientato α, la rotazione di centro O e angolo di rotazione α è la trasformazione che associa a ogni puntoP il punto P' che soddisfa le seguenti condizioni:
- l'angolo POP', orientato in modo che OP sia il primo lato, ha la stessa ampiezza e lo stesso orientamento di α;
- OP≅OP'
Proprietà invariantiva di una simmetria centrale: E' una isometria che, oltre che invariantiva di tutte le isometrie, conserva le direzioni e l'orientamento delle figure. Il centro di simmetria è un punto unito e tutte le rette passanti per il centro di simmetria sono unite.
Proprietà invariantiva di una traslazione: E' una isometria che, oltre agli invariati di tutte le isometrie, conserva le direzioni e l'orientamento delle figure. Non esistono punti o rette che risultino uniti rispetto a una traslazione
Proprietà invariantiva di una rotazione: E' una isometria che, oltre agli invarianti di tutte le isometrie, conserva l'orientamento delle figure. Il centro di rotazione è l'unico punto unito e non esistono rette unite.
Trasformazione composta: Si chiama trasformazione composta di una prima trasformazione f e di una seconda trasformazione g, la trasformazione, indicata con il simbolo g∘f, che fa corrispondere a ogni punto P del piano il punto P'', ottenuto determinando dapprima l'immagine P' di P nella f e poi l'immagine P'' di P' nella g.
Composizione di isometrie: La trasformazione composta di una isometria è una isometria
Composizione di simmetrie assiali con assi paralleli: La trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi paralleli è una trasformazione di vettore perpendicolare agli assi, con verso dal primo al secondo asse, e modulo uguale al doppio della distanza tra gli assi
Composizione di simmetrie assiali con assi incidenti: la trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi incidenti in O è una rotazione avente centro in O e angolo di rotazione, orientato dal primo al secondo asse, di ampiezza uguale al doppio dell'angolo formato dai due assi.
Composizione di simmetrie centrali: La trasformazione composta di due simmetrie centrali, di centri O e O', è una traslazione di vettore parallelo ed equivalso al vettore OO', avente modulo doppio del vettore OO'.
Composizione di traslazioni: La trasformazione composta di un traslazione di vettore v e di una traslazione di vettore w è un traslazione di vettore v+w.
Composizione di rotazioni: La trasformazione composta di due rotazioni aventi lo stesso centro O e angoli di rotazione di ampiezze α e β è una rotazione di centro O e angolo di rotazione di ampiezza α+β
Teorema fondamentale sulle isometrie: Ogni isometria è la composizione di al più tre isometrie.