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Equazioni di secondo grado e parabola - Coggle Diagram
Equazioni di secondo grado e parabola
Definizione: Ogni equazione del tipo: ax²+bx+c=0 dove a,b e c sono numeri reali (detti coefficienti) e a diverso da 0, viene chiamata equazione di secondo grado in forma normale (o in forma canonica)
Le equazioni di secondo grado in cui tutti i coefficienti sono diversi da 0 son dette complete
Le equazioni in cui qualcuno dei due coefficienti b o c è nullo sono dette incomplete
Equazione pura: è un'equazione che è riconducibile alla forma ax²+c=0
si può ricondurre alla forma: x²=K. A questo punto ci sono due possibilità:
se K>0 l'equazione ha due soluzioni (±√k)
se K<0 l'equazione è impossibile
Equazione spuria: è un'equazione che è riconducibile alla forma ax²+bx=0
le equazioni spurie hanno sempre due soluzioni di cui una è sempre uguale a 0; infatti: ax²+bx=0
x(ax+b)=0 x1=0 x2=b/a
Equazione monomia: è un'equazione riconducibile alla forma ax²=0
le equazioni monomie hanno sempre due soluzioni: ±√k/a
Metodo del completamento del quadrato: L'applicazione del metodo del completamento del quadrato consiste nell'operare delle manipolazioni algebriche modo da trasformare una equazione della forma: ax²+bx+c=0 in una equazione del tipo: (mx+n)²=k e a questo punto l'equazione si può risolvere interpretandola come un'equazione nell'incognita mx+n
Formula risolutiva di una generica equazione di secondo grado:
ax²+bx+c=0
ax²+bx=c
x²+(b/a)x=-(c/a)
(x+(b/2a))²= (b²-4ac)/4a²
A questo punto si hanno tre possibilità a seconda del segno di b²-4ac (che viene definito discriminante Δ):
se Δ>0 l'equazione ha due soluzioni reali e distinte date dalla formula: x= (-b±√b²-4ac)/2a
se Δ=0 l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti, date dalla formula: x=-(b/2a)
se Δ<0 l'equazioni non ha soluzioni reali
Formula risolutiva ridotta:
x=(-k±√k²-ac)/a
La formula ridotta è una formula alternativa a quella standard per determinare le soluzioni dell'equazione. Tale formula la si può applicare quando il coefficiente b è pari.
Equazioni di secondo frazionarie:
Procedimento risolutivo di un'equazione frazionaria:
1°passo: si scompongono i denominatori delle frazioni algebriche che compaiono nell'equazione;
2°passo: si determinano le C.E. delle frazioni algebriche che compaiono nell'equazione;
3°passo: ci si riconduce a un'equazione intera, moltiplicando i due membri dell'equazione per il minimi comune denominatore, e si risolve l'equazione così ottenuta;
4°passo: si confrontano le soluzioni trovate con le C.E. e si scartano le eventuali soluzioni che non soddisfano tali condizioni.
Procedimento per discutere un'equazione di secondo grado letterale intera:
1°passo: si riconduce l'equazione in forma normale e si cercano i valori del parametro per cui l'equazione è di secondo grado e ha discriminante non negativo;
2°passo: in tale ipotesi, si determinano le soluzioni dell'equazione mediante la formula risolutiva;
3° passo: si esaminano i casi esclusi al 1°passo
4° passo: si riassumono i risultati della discussione.
Procedimento per discutere un'equazione letterale con parametri al denominatore e/o frazionaria:
1°passo: si pongono le C.E.; bisogna prestare attenzione a distinguere:
-le eventuali condizioni sui parametri, che escludono i valori per cui l'equazione perde significato;
-le condizioni sulle incognite, che andranno riprese alla fine per verificare l'accettabilità delle soluzioni;
2°passo: si riconduce l'equazione a una intera, moltiplicando due membri per il m.c.m. dei denominatori e si risolve e discute l'equazione ottenuta;
3°passo: si discute l'accettabilità delle soluzioni in relazione alle eventuali condizioni sulle incognite che si erano poste al 1°passo;
4°passo: al termine, per riordinare le idee, si riassumono i risultati della discussione.
Relazioni tra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado
Regola: Somma e prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado
Supponiamo che l'equazione ax²+bx+c=0, con a diverso da 0, abbia soluzioni reali, cioè che sia Δ≥0. Dette x1 e x2 le soluzioni dell'equazione, abbiamo che: x1+x2=-(b/a) e x1*x2=(c/a)
Regola di Cartesio: la regola di Cartesio afferma che analizzando i segni dei coefficienti all'equazione è possibile prevedere i segni delle soluzioni. Bisogna prima introdurre i concetti di permanenza e variazione. Diciamo che si ha una permanenza nei segni dei coefficienti di un'equazione in forma normale quando si susseguono due coefficienti dello stesso segno; si ha una variazione quando si susseguono due coefficienti di segno opposto. Supponiamo che l'equazione ax²+bx+c=0 abbia tutti i coefficienti diversi da zero e che sia Δ≥0. Allora: - a ogni variazione nei segni dei coefficienti corrisponde una soluzione positiva, - a ogni permanenza nei segni dei coefficienti corrisponde una soluzione negativa.
Scomposizione di un trinomio di secondo grado: Ogniqualvolta il trinomio ax²+bx+c=0 con a diverso da 0, è tale che l'equazione associata,ax²+bx+c=0, ammette due soluzioni reali x1 e x2 (cioè quando Δ≥0), vale la scomposizione: ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2). Nel caso particolare in cui Δ=0, quindi x1=x2 la formula diventa: ax²+bx+c=a(x-x1)²
Riducibilità di un trinomio di secondo grado in R: Il trinomio ax²+bx+c=0 con a diverso da 0, è riducibile in R se e solo se b²-4ac≥0
Condizione sulle soluzioni di un'equazione parametrica: in questo caso la lettera di cui si cercano i valori non è più l'incognita ma il parametro e si parla di equazioni parametriche. Per trovare i valori del parametro in corrispondenza dei quali le soluzioni soddisfano le condizioni richieste, bisogna tradurre queste condizioni in equazioni nel parametro e risolvere tali equazioni. Alcuni esempi di condizioni sul discriminante:
le soluzioni sono reali e distinte Δ>0 b²-4ac>0
le soluzioni sono coincidenti Δ=0 b²-4ac=0
le soluzioni sono reali Δ≥0 b²-4ac≥0
le soluzioni non sono reali Δ<0 b²-4ac<0
La parabola e l'interpretazione grafica di un'equazione di secondo grado:
la funzione di secondo grado è definita dall'equazione: y=ax²+bx+c.La parabola è la curva che rappresenta graficamente nel piano una funzione di secondo grado.
se a >0 la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto
se a<0 la parabola ha la concavità verso il basso.
Il grafico della funzione y=f(x)=ax²+bx+c c'è una parabola avente vertice nel punto di coordinate:
(-(b/2a), -(Δ/4a)). L'asse della parabola è la retta di equazione x=-(b/2a)
Problemi di massimo e minimo di secondo grado sono problemi che richiedono di determinare il massimo o il minimo valore che può essere assunto da una certa grandezza e hanno come modello una funzione di secondo grado, per cui si ricorre alla realizzazione di grafici di parabole per la loro risoluzione.