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Rette nel piano cartesiano - Coggle Diagram
Rette nel piano cartesiano
Piano cartesiano: Un piano dove sono stati fissati un asse x, un asse y e un'unità di misura su ciascun asse si dice piano cartesiano. Il piano resta diviso dagli assi in quattro angoli: ciascuno di questi quattro angoli è detto quadrante.
Distanza tra due punti:
Aventi la stessa ascissa: La distanza tra due punti A(x1,y1) e B(x1,y2), aventi la stessa ascissa, è uguale al valore assoluto della differenza tra le loro ordinate; vale cioè la formula:
AB=|y2-y1|
Aventi la stessa ordinata: La distanza tra due punti A(x1,y1) e B(x2,y1) aventi la stessa ordinata, è uguale al valore assoluto della differenza tra le ascisse dei due punti:
AB=|x2-x1|
Formula generale: Nel piano cartesiano la distanza tra due punti A(x1,y1) e B(x2,y2) è data dalla formula: AB=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
Punto medio di un segmento nel piano cartesiano: Siano A(x1,y1) e B(x2,y2) due punti del piano cartesiano e M il punto medio del segmento AB. L'ascissa di M è la media aritmetica delle ascisse di A e B e l'ordinata di M è la media aritmetica delle ordinate di A e B; in simboli:
M( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
Traslazioni: ho un punto P(x,y) e un vettore v (a,b). Le equazioni della traslazione di vettore v(a,b) sono:
{x'=x+a
{y'=y+b
Simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante: ho un punto P(x,y). Il simmetrico di P rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante avrà coordinate:
{x'=y
{y'=x
Simmetria rispetto a uno degli assi cartesiani: ho un punto P(x,y). Il simmetrico di P rispetto all'asse x avrà coordinate:
{x'=x
{y'=-y
Il simmetrico di P rispetto all'asse y avrà coordinate:
{x'=-x
{y'=y
Rotazioni intorno all'origine di un angolo retto: ho un punto P(x,y). Le equazioni della rotazione intorno all'origine di 90° in senso antiorario sono:
{x'=-y
{y'=x
Le equazioni della rotazione intorno all'origine di 90° in senso orario sono:
{x'=y
{y'=-x
Simmetria rispetto a un punto: ho un punto P(x,y) e un punto C(a,b). Il simmetrico di P rispetto a C avrà coordinate:
{x'=2a-x
{y'=2b-y
Ponendo a=0 e b=0:
{x'=-x
{y'=-y
Equazione di un retta nel piano cartesiano: una retta nel piano cartesiano è rappresentata da un'equazione del tipo: ax+by+c=0 (equazione della retta in forma implicita) con a e b non nulli contemporaneamente.
Equazioni di rette particolari: A seconda della posizione di una retta nel piano cartesiano, l'equazione generale può assumere varie forme
Equazione di una retta in forma esplicita: y=mx+q, dove m è il coefficiente angolare e q è il termine noto. Tale equazione rappresenta una retta generica nel piano, non parallela all'asse y
Funzione lineare: L'equazione y=mx+q definisce una funzione lineare
Pendenza di una retta: Il coefficiente angolare m rappresenta la pendenza costante della retta, cioè il rapporto tra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse nel passaggio da un punto P a un punto Q.
quindi: m=(y2-y1)/(x2-x1)
Funzione di proporzionalità diretta: L'equazione y=mx definisce una funzione di proporzionalità diretta.
Funzione lineare a tratti: Le funzioni il cui grafico è costituito dall'unione di segmenti e7o semirette sono dette funzioni lineari a tratti
Equazione di una retta passante per l'origine: y=mx. Tale equazione rappresenta una retta passante per l'origine degli assi, non coincidente con l'asse y
Equazione delle rette parallele agli assi:
una retta parallela all'asse x ha equazione del tipo y=k
un retta parallela all'asse y ha equazione del tipo x=h.
in particolare: l'asse x ha equazione y=0 e l'asse y ha equazione x=0
La bisettrice del 1° e del 3° quadrante ha equazione y=x
La bisettrice del 2° e del 4° quadrante ha equazione y=-x
Condizioni per parallelismo e perpendicolarità tra rette:
Condizioni che devono soddisfare le equazioni di due rette affinché siano paralleli o perpendicolari.
Condizione di parallelismo: Le due rette di equazioni
y=mx+q e y=m'x+q' sono parallele se e solo se: m=m'
Esempio: y=0,5x+1 e y=0,5x+3 sono parallele
Condizione di perpendicolarità: Le due rette di equazioni y=mx+q e y0m'x+q' sono perpendicolari se e solo se:
m * m'=-1. Esempio: y=5x-2 e y=-(1/5)x+1 sono perpendicolari
Condizioni per determinare l'equazione di una retta: E' possibile determinare l'equazione di una retta di cui sono dati:
un punto e il coefficiente angolare;
due punti.
retta passante per un punto: Equazione della retta passante per P(x0,y0) e di coefficiente angolare m:
y-y0=m(x-x0)
retta passante per due punti: Dati i punti A(x1,y1) e B(x2,y2) si ha:
coefficiente angolare: m=(y2-y1)/(x2-x1)
equazione della retta: y-y1=m(x-x1)
Distanza di un punto da un retta: Se r è la retta di equazione ax+by+c=0 e P è il punto di coordinate (x0,y0), la distanza di P da r è data dalla formula:
d(P,r)=(|ax0+by0+c|)/√a²+b²
Rappresentazione analitica di semipiani, segmenti, semirette, angoli, strisce e poligoni:
rette: la rappresentazione analitica delle rette è data da equazioni lineari in due incognite;
semipiani: la rappresentazione analitica dei semipiani è data da disequazioni lineari in due incognite;
segmenti e semirette: la rappresentazione analitica dei segmenti e delle semirette è data da sistemi misti (formati da una equazione e disequazioni);
angoli, strisce e poligoni: la rappresentazione analitica di angoli, strisce e poligoni è data da sistemi di disequazioni lineari in due incognite
