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Sistemi lineari e matrici - Coggle Diagram

- - - - Metodo del confronto:
        
        1°passo: si risolvono entrambe le equazioni del sistema rispetto ad una incognita (per es. rispetto a y);
        
        2°passo: uguagliando le due espressioni che esprimono y in funzione di x, si ottiene l'equazione risolvente;
        
        3°passo: si risolve l'equazione risolvente;
        
        4°passo: si ricava il valore di y, sostituendo il valore di x trovato.
      - Metodo di addizione e sottrazione:
        
        1°passo: ogniqualvolta nelle equazioni di un sistema, ridotto in forma normale, i termini in una delle due incognite sono opposti (uguali), si può ottenere un'equazione risolvente in una sola incognita sommando (sottraendo) membro a membro le due equazioni;
        
        2°passo: per fare in modo che nelle due equazioni del sistema compaiano due termini uguali od opposti può essere necessario moltiplicare i due membri delle equazioni per fattori opportuni;
        
        3°passo: una volta determinato il valore di una delle due incognite sommando o sottraendo membro a membro le due equazioni di un sistema, per determinare il valore dell'altra incognita si può ricorrere al metodo di sostituzione oppure applicare ancora il metodo di addizione e sottrazione.
      - Metodo di sostituzione:
        
        1°passo: si risolve una delle due equazioni del sistema rispetto a un'incognita;
        
        2°passo: si sostituisce l'espressione trovata nell'altra equazione: si ottiene così un'equazione in una sola incognita, detta equazione risolvente del sistema;
        
        3°passo: si risolve l'equazione risolvente;
        
        4°passo: si sostituisce il valore dell'incognita trovata al passo precedente nell'equazione esplicitata ricavata al 1° passo e si ricava, così, il valore dell'incognita ancora da determinare;
        
        5°passo: si conclude scrivendo la soluzione del sistema.
      - Matrice e determinante: Dati quattro numeri a1,b1,a2 e b2, disposti in una tabella del tipo
        [a1 b1]
        [a2 b2]
        detta matrice, si chiama determinante della matrice e si indica con il simbolo
        |a1 b1|
        |a2 b2| il numero a1b2-a2b1
        
        Teorema di Cramer: Dato un sistema della forma
        {ax+by=c
        {a'x+b'y=c' in cui almeno uno dei quattro coefficienti a,b,a',b' sia diverso da zero:
        
        se D è diverso da 0, il sistema è determinato e ha come soluzione: x=Dx/D e y=Dy/D
        
        se D=0 e inoltre Dx è diverso da 0 o Dy è diverso da 0, il sistema è impossibile;
        
        se D=Dx=Dy=0, il sistema è indeterminato.
        
        Risoluzione e discussione di un sistema lineare letterale:
        
        1°passo: si calcolano anzitutto i tre determinanti D, Dx e Dy;
        
        2°passo: si calcola per quali valori del parametro il determinante D del sistema è diverso da 0: in tal caso, il sistema è determinato e se ne determina la soluzione;
        
        3°passo: si esaminano direttamente i casi esclusi nel passo precedente: in questi casi il sistema è impossibile o indeterminato;
        
        4°passo: si conclude riassumendo i risultati della discussione
        
        Criterio dei rapporti: Dato il sistema lineare
        {ax+by=c
        {a'x+b'y=c' dove a',b', c' sono diversi da 0, valgono i seguenti fatti:
        
        se a/a' è diverso da b/b' il sistema è determinato;
        
        se a/a'=b/b' e b/b' è diverso da c/c' il sistema è impossibile;
        
        se a/a'=b/b'=c/c' il sistema è indeterminato
  - - - Metodo di sostituzione:
        
        1°passo: si ricava da una delle tre equazioni del sistema l'espressione di una incognita in funzione delle altre due;
        
        2°passo: si sostituisce nelle altre due equazioni l'espressione trovata: queste due equazioni vengono così a formare un sistema di due equazioni in due incognite, che sappiamo risolvere;
        
        3°passo: si risolve il sistema in due incognite cui si è giunti nel passo precedente, determinando così i valori di due delle tre incognite;
        
        4°passo: si sostituiscono i valori delle due incognite ricavati al passo precedente nell'equazione ottenuta al 1° passo, determinando così il valore della terza incognita;
        
        5°passo: si conclude scrivendo la soluzione del sistema.
      - Metodo di addizione e sottrazione:
        
        1°passo: utilizzando il metodo di addizione e sottrazione, si elimina una incognita da due equazioni del sistema;
        
        2°passo: si elimina la stessa incognita eliminata nel passo precedente da due equazioni diverse da quelle utilizzate al 1° passo;
        
        3°passo: applicando ancora il metodo di addizione e sottrazione, si ricava il valore di una incognita dalle due equazioni, in due incognite, ottenute come risultato dei passi 1° e 2°;
        
        4°passo: con il metodo di sostituzione, si ricavano i valori delle due incognite restanti;
        
        5°passo: si scrive la soluzione del sistema.
- - - - Moltiplicazione di una matrice per un numero: Data una matrice, si definisce prodotto tra la matrice data e un numero reale la matrice ottenuta moltiplicando per quel numero ogni elemento della matrice data
      - Moltiplicazione tra matrici: Sia A una matrice nxk e B una matrice lxm. Il prodotto C=A * B delle due matrici A e B è la matrice num il cui generico elemento cij, è così ottenuto: si moltiplica ciascun elemento della riga i della matrice A per l'elemento di uguale posto della colonna j della matrice B e si sommano i prodotti ottenuti.
      - Addizione di due matrici: Date due matrici A e B dello stesso tipo mxn, si definisce matrice somma di A e B la matrice che ha come elementi le somme degli elementi di uguale posto delle matrici A e B
    - - Proprietà del determinante: Sia A una matrice quadrata; allora valgono le seguenti proprietà:
        
        Se A ha una riga o una colonna di zeri, det(A)=0
        
        Se A ha due righe o due colonne uguali, allora det(A)=0
        
        Se a una riga (colonna) si aggiunge una qualunque altra riga (colonna), eventualmente moltiplicata per un numero, il determinante non cambia
        
        Se si scambiano due righe (o due colonne), il determinante cambia segno
        
        Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga (colonna) per un numero k, anche il determinante risulta moltiplicato per k
    - - Matrice inversa: Una matrice A di ordine n è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0. In tal caso sussiste la seguente relazione:
        A^-1= (1/det(A))* C^T
        dove A^-1 indica la matrice inversa di A e C^T indica la trasposta della matrice C i cui elementi sono i complementi algebrici degli elementi della matrice A.