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Teorema di Talete e similitudine - Coggle Diagram
Teorema di Talete e similitudine
Rapporto tra due segmenti: Si chiama rapporto tra due segmenti AB e BC il rapporto tra le misure di AB e BC, rispetto a una data unità di misura
Segmenti in proporzione: Si dice che quattro segmenti AB, CD, EF e GH sono in proporzione, o proporzionali, se il rapporto tra AB e CD è uguale al rapporto tra EF e GH, cioè se: AB/CD=EF/GH
Proporzione numerica: a:b=c:d con b e d diversi d 0
a e d sono gli estremi, b e c sono i medi;
a e c sono gli antecedenti, b e d sono i conseguenti;
se b=c si dice che b è medio proporzionale tra a e d
proprietà fondamentale delle proporzioni:
dell'invertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione. Quindi: b:a=d.c. Esempio: dalla proporzione 10:2=40:8 si può ottenere la proporzione 2:10=8:40
del permutare: scambiando tra loro i medi oppure gli estremi si ottiene ancora una proporzionalità. Quindi: a:c=b:d oppure d:b=c:a. Esempio: Dalla proporzione 10:2=40:8 si possono ottenere le proporzioni 10:40=2:8 oppure 8:2=40:10
del comporre: la somma tra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del e del quarto sta al terzo (a al quarto). Quindi: (a+b):a=(c+d):c oppure (a+b):b=(c+d):d. Esempio: Dalla proporzione 10:2=40:8 si possono ottenere le proporzioni (10+2):10=(40+8):40 oppure (10+2):2=(40+8):8
dello scomporre: la differenza tra il primo e il secondo termine sta il primo (o al secondo) come la differenza del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto). Quindi: (a-b):a=(c-d):c oppure
(a-b):b=(c-d):d. Esempio: Dalla proporzione 10:2=40:8 si possono ottenere le proporzioni
(10-2):10=(40-8):40 oppure (10-2):2=(40-8):8
Proprietà della catena di rapporti: Se a/b=c/d=e/f=......=K, allora (a+c+e+....)/(b+d+f+.....)=K
Teorema di Talete: Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, il rapporto tra due segmenti AB e CD individuati dal fascio su una trasversale è uguale al rapporto tra i loro corrispondenti A'B' e C'D' sull'altra trasversale
Teorema: Retta parallela a un lato di un triangolo: Se una retta parallela a un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, allora li divide in segmenti proporzionali.
Inverso del teorema: Se una retta interseca due lati di un triangolo in modo che i segmenti definiti sui due lati siano proporzionali, allora tale retta è parallela al terzo lato
Teorema della bisettrice di un angolo interno: In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati
Triangoli simili: Due triangoli si dicono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati opposti agli angoli congruenti sono proporzionali
Rapporto di similitudine: Rapporto k (costante) tra le misure delle coppie di lati corrispondenti. A'B'/AB=B'C'/BC=A'C'/AC=k
Relazioni tra segmenti notevoli, perimetri e aree di triangoli simili:
In due triangoli simili, di rapporto di similitudine uguale a k:
il rapporto tra due altezze, mediane o bisettrici corrispondenti è uguale a k;
il rapporto tra le misure dei perimetri è uguale a k;
il rapporto tra le aree è uguale a k².
Primo criterio di similitudine: Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili.
Ipotesi: α≅α', β≅β'
Tesi: ABC∼A'B'C'
Secondo criterio di similitudine: Se due triangoli hanno due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente, allora sono simili.
Ipotesi: A'B'/AB=A'C'/AC, α≅α'
Tesi: ABC∼A'B'C'
Terzo criterio di similitudine: Se due triangoli hanno i lati proporzionali, allora sono simili.
Ipotesi: A'B'/AB=B'C'/BC=A'C'/AC
Tesi: ABC∼A'B'C'
Primo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.
Ipotesi: ABC è un triangolo e α è retto
Tesi: BC:AB=AB:BH
BC:AC=AC:HC
Secondo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Ipotesi: ABC è un triangolo e α è retto; AH⟂BC
Tesi: BH:AH=AH:HC
Teorema della tangente: Se da un punto esterno a una circonferenza si conducono una semiretta secante e una tangente, il prodotto fra le misure dei due segmenti che hanno un estremo nel punto esterno e l'altro nei punti di intersezione della secante con la circonferenza è uguale al quadrato della misura del segmento di tangenza
PT²=PAxPB
Teorema delle secanti: Se da un punto esterno a una circonferenza si conducono due semirette secanti e si considerano i quattro segmenti che hanno un estremo nel punto esterno e l'altro nei punti di intersezione delle secanti con la circonferenza, il prodotto delle misure dei due segmenti appartenenti a una secante è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti appartenenti all'altra secante
PAxPB=PCxPD
Teorema delle corde: Se due corde AB e CD di una circonferenza si intersecano in P, il prodotto delle misure dei due segmenti in cui AB resta divisa da P è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti in cui CD resta divisa da P.
APxPB=CPxPD
Poligoni simili: Due poligoni aventi lo stesso numero dilati sono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati opposti agli angoli congruenti sono proporzionali.
Perimetri e aree di poligoni simili: In due poligoni simili, di rapporto di similitudine k:
il rapporto tra le misure dei perimetri è uguale a k;
il rapporto tra le aree è uguale a k².
Diagonali di poligoni simili: In due poligoni simili, il rapporto tra due diagonali che congiungono vertici corrispondenti è uguale al rapporto di similitudine
Rapporto tra i perimetri di due poligoni regolari: Il rapporto tra i perimetri di due poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati è uguale sia al rapporto tra i raggi delle circonferenze inscritte nei poligoni sia al rapporto tra i raggi delle circonferenze circoscritte ai poligoni
Potenza di un punto rispetto a una circonferenza:
Dato un punto P e una circonferenza, siano A e b i punti d'intersezione co la circonferenza di una retta passante per P e secante la circonferenza. Si chiama potenza di P rispetto alla circonferenza:
il numero PAxPB se P è esterno alla circonferenza;
il numero -PAxPB se P è interno alla circonferenza;
il numero 0 se P appartiene alla circonferenza .
Sezione aurea: Si dice sezione aurea di un segmento la parte del segmento media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente
La misura della sezione aurea di un segmento di misura l è: ((√5-1)xl)/2
