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Cálculo Numérico Engenharia Elétrica-Mecânica, Raio, function [x,k…
Cálculo Numérico
Engenharia Elétrica-Mecânica
GRAU A
ERROS
RELATIVO
PERCENTUAL
Costuma ser expresso como erro percentual,
basta multiplicar o erro relativo por 100
E_P = E_Rx100
ABSOLUTO
x = Valor exato; x ̅ = Valor aproximado
ERRO DE ARREDONDAMENTO
Limitação de dígitos limitados em uma calculadora ou computador.
ERRO DE TRUNCAMENTO
São provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos ou muito grandes para determinação de um valor e que, por razões práticas são truncados.
Newton - Raphson
Faz uso de derivadas para identificar o ponto de interceptação de modo eficiente
Bisseção
identifica onde corta o eixo
function [r,it,erro]=bisseccao(f,a,b,tol)
it=0;
while abs(a-b)>tol
r=(a+b)/2;
it=it+1;
fa=subs(f,a);
fr=subs(f,r);
if fa*fr<0
b=r;
else
a=r;
end
erro=abs(a-b)
end
Sistemas lineares
SPD: sistema possível e determinado
retas interceptam-se 1 vez
SPI: sistema possível e indeterminado
retas interceptam-se continuamente
SI: sistema impossível
retas são paralelas
Conversão Binária
Mudança de base binária para a base decimal
Compreensão
Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de 2.
a) (1011)2=( )10 =Σ𝑎𝑖×2𝑖3𝑖=0=1×20+1×21+0×22+1×23=11
Portanto, 1011 na base binária corresponde ao 11 na base decimal.
b) (0,011)2=( )10 =Σ𝑎𝑖×2𝑖−1𝑖=−3=1×2−3+1×2−2+0×2−1=0,375
Portanto, 0,011 na base binária corresponde ao 0,375 na base decimal.
Mudança de base decimal para a base binária – Parte inteira
Compreensão
Deve-se aplicar um procedimento para a parte inteira e outra para a parte fracionária.
Procedimento para a parte inteira: método das divisões sucessivas, o qual pode ser resumido da seguinte maneira:
• Dividir o número por 2.
• Divide-se por 2 o quociente encontrado.
• Repetir o processo até que o último quociente seja 1.
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GRAU B
Resolução de Sistemas Lineares
Gauss Jacobi
a) Escolhe-se uma aproximação inicial x(²).
b) Geram-se as aproximações sucessivas de 𝑥(K) a partir da fórmula iterativa.
c) Continua-se a gerar as aproximações até que o erro seja menor que a tolerância
desejada.
Observação: A justificativa para que, em geral, as aproximações sucessivas, prescritas pelo método de Gauss-Jacobi convirjam para o resultado correto das variáveis do sistema linear reside no fato de que o erro associado a primeira aproximação vai se diluindo nas sucessivas aproximações que levam ao valor aproximado desejado.
Gauss Seidel
A diferença entre o método de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi está no fato de como as variáveis são atualizadas a cada iteração. No método de Gauss-Seidel as aproximações já calculadas para uma variável, na iteração 𝑘, são utilizadas para determinar as outras variáveis
Considere que o sistema linear pode ser escrito da forma matricial 𝐴𝑥 = 𝑏. Os dados
de entrada são:
𝐴 é a matriz de coeficientes do sistema.
𝑏 é o vetor coluna dos termos independentes do sistema linear.
𝑥0 é o vetor coluna da com os valores de estimativa inicial das incógnitas do sistema
linear.
𝑡𝑜𝑙 é a tolerância desejada (precisão)
Os dados de saída são:
𝑥 é o vetor coluna da solução aproximada.
𝑘 é o número de iterações necessárias para a convergência.
𝑒𝑟𝑟𝑜 da iteração 𝑘.
Ajuste de curva
Definir tipo de gráfico ( linear, quadratico, esponencial
Usar a planilha mágica com a equação correta
Usar os dados da planilha e alimentar o algorimo no software
Caso Linear
Neste caso, deseja-se determinar uma função da forma 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 que ajuste um conjunto de 𝑛 pontos de tal forma que o resíduo seja o menor possível. Se conseguirmos obter as constantes 𝑎 e 𝑏 temos a função linear de ajuste
Caso Quadrático
Considere a função da forma 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐. Procedendo de forma análoga ao caso linear, ou seja, impondo que a derivada do resíduo é zero obtém-se um sistema linear
Caso Não Linear
Em algumas situações, a família de funções escolhida pode ser não linear nos parâmetros, como por exemplo, se ao diagrama de dispersão de uma determinada função se ajustar uma função exponencial da forma f(x)=a ebx. Neste caso, o método dos mínimos quadrados também pode ser aplicado fazendo o que se chama de linearização do problema através de alguma transformação conveniente.
Vamos tratar do caso f(x)=a ebx. O problema consiste em determinar os valores de a e b. Precisamos determinar uma transformação de tal forma que o problema seja linear,
Integração Numérica
Usada quando o calculo é impossível ou algebricamente complexo ou em casos onde não se conhece a função que define região
Define-se o intervalo de integração
2.Escolhe-se o número de trapézios
Interpolação polinomial
Interpolar uma função 𝑓(𝑥) é, basicamente, aproximar essa função por uma outra
função 𝑔(𝑥), escolhida entre uma classe de funções.
Para determinar a função interpoladora considere 𝑛 + 1 pontos distintos:
𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛,
Interpolação de lagrange
A interpolação segundo Lagrange tem o polinômio interpolador
definido por:
gn(x)=f(x0)L0(x)+f(x1)L1(x)+f(x2)L2(x)+...+f(xn)Ln(x)
Edson Joelmir Jotz
Eduardo de Souza dos Santos
Guilherme Vicente
Vinícius Zotti
Professora Alexandra Cemin
function [x,k,err]=newtonraphson(f,a,tol)
k=1;
df=diff(f);
x=a; fx=eval(f);dfx=eval(df);
while abs(fx)>=tol;
x=x-fx/dfx;
fx=eval(f);
dfx=eval(df);
k=k+1;
end
err=abs(fx);