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Equações Diferenciais, ¯ + c. - Coggle Diagram

- - - - https://drive.google.com/file/d/1gHI7IHopRAdpwQKS6ut5sfTliy6YONxY/view?usp=sharing
        
        Derivadas e Integrais
      - https://drive.google.com/file/d/1StE30ROwqOLAQL2BcJwlsQ-MaS0m4TSP/view?usp=sharing
        
        Técnicas de Integração
    - - Ex: ∫ 2 / (t-9)² * dt
        
        A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis. Substituindo na integral
    - - Ex: ∫(√x² -9) / x³ * dx
    - - Ex: ∫xsenxdx
    - - Ex: ∫ (2x³ - 4x² - x -3) / (x² - 2x - 3)
  - - - Ordem
        
        Maior Derivada
        
        1º
        
        2º
        
        3º
      - E.D.O - Equação Diferencial Ordinária
        
        E.D.P - Equação Diferencial Parcial
        
        E.D.O - Menos de 3 incógnitas
        E.D.P - Mais de duas incógnitas
      - Lineariedade
        
        Não Linear
        
        Linear
        
        Grau diferente de 1 (elevado)
        Não pode multiplicar uma incógnita pela mesma x= dx / dy
  - - - Aplicações
        
        Posição
        
        Aceleração
        
        Velocidade
        
        Crescimento/Decrescimento Populacional
        
        dp/dt = p
        
        dp/dt = k*p
        
        ∫dp/p = ∫k*dt
        
        ln e p = k*t+c
        
        1 more item...
        
        proporcional é diferente de igual
        
        se pedir proporcional tem que multiplicar pela constante K= constante
        
        se for igual não precisa multiplicar a K= constante
        
        Exemplos:
        dp/dt = K.P
        Exemplo igual:
        dp/dt = P
        
        Taxas
        
        Velocidade: = ds/dt
        
        Aceleração: = ds/dt
        
        Ex:
        ds/dt=K*v
        
        Resfriamento de Newton
        
        dT/dt = T-Tn
        
        dT/dt= k*(T-Tn)
        
        ∫ dT/T-Tn = ∫ k*dt
        
        ln(T-Tn)=k*t+c
        
        1 more item...
      - Variáveis separáveis
        
        Para resolver basta separar os termos em x e y e integrar ambos os lados da equação resultante
    - - Equações exatas
        
        Equações Homogenias ( todos os termos são do primeiro grau )
        
        Equações lineares (onde y e y' são do primeiro grau)
  - - - Exemplo:
        d²x / dt² + a*dx/dt + kx = 0
        
        t é a variável independente e x é a vaiável dependente, a e k são chamados de coeficientes
  - - - Chamada de fator integrante
    - - Método de Resoluão
        
        1) Colocar na forma dy/dx + P(x).y = f(x)
        
        2) Identifique P(x) e encontrar o fator integrante
        
        P(x) é sempre quem multiplica o y
        
        3) Multiplique ambos lados por I.
        
        4) Integre ambos os lados
        
        Exemplos
        
        dt/dy = quem multiplica o t
        
        1 more item...
  - - - seno= cateto oposto/hip.
        
        tg= cateto oposto/cateto adj.
        
        sec= 1/cos ângulo
        
        cotg= cos ângulo/sen ângulo
        
        cossec= 1/ sen ângulo
- - - - Substituição
        
        y' = p
      - Lineares com Coeficientes Constantes
        
        a y'' + b y' + c y = 0
        
        Raízes reais distintas
        
        Raízes reais iguais
        
        Raízes conjugadas complexas
        
        Equações Auxiliares
      - Transformada de Laplace
        
        Inversa
      - Integrações Sucessivas
    - - Raízes reais ≠
      - Raízes reais =
      - Conjugadas Complexas
      - Equações Auxiliares
      - Solução de Equações Auxiliares
        
        1º Caso - Raizes reais Distintas
        
        Com a hipótese de que a equação auxiliar possui 2 raizes distintas m1 e m2.
        
        y = c1.x^m1 + c2.x^m2
        
        2º Caso - Raízes reais Iguais
        
        m1 é igual ao m2
        
        y = c1.x^m1 + c2.x^m1.ln.x
        
        3º Caso - Raizes complexas conjugadas
        
        Se m1 e m2 forem complexas, podemos reescrever m = a +/- Bi, em que Bi > 0são reais i^2 = -1
        
        y = c1.x^a . cos(B.ln.x) + c2.x^a . sen(B.ln.x)
  - - - Solução: Duas integrais Sucessivas
        
        Exemplo 1: Encontre a solução geral da equação diferencial y'' + e^2x - cos(x) = 0
        
        y' = dy/dx
        
        y'' = d²y/dx²
        
        d²y/dx² + e²x - cos(x) = 0
        
        d²y/dx² = cos(x) - e²x
        
        1 more item...
        
        linguagem que será utilizada durante as aulas
    - - Solução: Substitui-se y' por p na equação a fim de transformar numa equação equação de 1ª ordem
        
        Exemplo 2: x * y'' + y' = 0
        
        y' = p
        
        x * (y')' + y' =
        
        x * p' + p = 0
        
        x * dp/dx + p = 0
        
        x * dp/dx = -p
        
        1 more item...
  - - - am²e^mx + bme^mx + ce^mx = 0
        
        e^mx ( am² + bm + c ) = 0
        
        e^mx = 0
        
        am² + bm + c = 0
        
        1º caso = Raizes reais distintas
        m1 ≠ m2
        
        Solução:
        y = c1e^m1x + c2^m2x
        
        2º caso = Raizes reais iguais
        m1 = m2
        
        Solução:
        y = c1e^m1x + c2.x.e^m1x
        
        3º caso = Raizes conjugadas complexas
        √ - 1 = i
        ( i = número imaginário )
        
        Solução:
        m = p +/- qi
        i = √ -1
        y = c1 e^px.cos(qx) + c2e^px.sen(qx)
    - - y = e ^mx
        y' = me^mx
        y''=m²e ^mx
  - - - Três Etapas
        
        1º - E.Q. é transformada numa equação algébrica, mediante o cálculo da transformada de Laplace
        
        2º - A equação algébrica é resolvida por meio de manipulações algébricas, obtendo-se uma solução da equação algébrica
        
        3º - A solução da equação algébrica é transformada na solução procurada da equação diferencial utilizando-se a transformada inversa de Laplace
        
        Seja F uma função definida t=/> 0, então a integral
        L{f(t)} = Integral e^-st. f(t).dt
        
        Integral de 0 ao Infinito
        
        é chamada transformada de Laplace de f, desde que a integral convirja
      - TABELA TRANSFORMADAS
        
        COLOCAR A TABELA DAS TRANSFORMADAS
      - Lembre-se:
        L{y''} = s² Y(s) - sy(0) - y'(0)
        L{y'} = sY(s) - y(0)
        L{y} = Y(s)