Análisis de señales de tiempo discreto.
1.Teorema de muestreo.
3.Señales periódicas discretas en el tiempo.
4.Señales no periódicas: transformada de
Fourier discreta en el tiempo (TFDT)
El Teorema de Muestreo de Nyquist explica la relación entre la velocidad de muestreo y la frecuencia de la señal medida. Afirma que la velocidad de muestreo fs debe ser mayor que el doble del componente de interés de frecuencia más alto en la señal medida.
2.Cálculo numérico de la transformada de Fourier: transformada discreta de Fourier (TFD).
En matemáticas, la transformada discreta de Fourier o DFT es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis de Fourier. Transforma una función matemática en otra, obteniendo una representación en el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio del tiempo.
Están definidas sólo en valores discretos de tiempo. Los instantes de tiempo no necesariamente están equiespaciados. – Las señales en Tiempo Discreto (TD) aparecen cuando se muestrea una señal analógica, es decir, cuando se toman muestras de la señal a instantes discretos de tiempo.
Cuando un sistema en tiempo discreto es lineal y invariante en el tiempo (sistema LIT), solo una representación se destaca como la más útil. Se llama Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y se basa en el conjunto de señales exponenciales complejas {ejωn}.
5.Propiedades de la TFDT
Periodicidad
La transformada de Fourier en tiempo discreto es SIEMPRE periódica en ω con periodo 2π:
X(ej(ω+2π))=X(ejω)
Linealidad
F[A⋅x[n]+B⋅y[n]]=A⋅X(jω)+B⋅Y((jω)
Desplazamiento de Tiempo
F[x[n−n0]]=e−jωn0⋅X(jω)
Conjugación y Simetría Conjugada
F[x∗[n]]=X∗(−jω)
Si x[n] es Real
X(jω)=X∗(−jω)
Diferenciación y Acumulación
F[x[n]−x[n−1]]=(1−ejω)⋅X(jω)
F[∑m=−∞nx[m]]=11−ejω⋅X(jω)+πX(j0)∑k=−∞+∞δ(ω−2πk)
Inversión en Tiempo
F[x[−n]]=X(−jω)
Expansión en Tiempo
Si x(k)[n],conk∈N={x[n/k]0sinesmultiplodeksinnoesmultiplodek:
F[x(k)[n]]=X(jωk)
Diferenciación en Frecuencia
F[n⋅x[n]]=jdX(jω)dω
Relación de Parseval
∑n=−∞+∞|x[n]|2=12π∫2π|X(jω)|2dω
6.Análisis de sistemas lineales invariantes en
el tiempo discreto usando TFDT.
Los Sistemas Discretos pueden caracterizarse como una transformacion u operador, T {•}, que
modifica la secuencia de entrada para convertirla en la secuencia de salida. Teniendo en cuenta
que cualquier secuencia puede expresarse como una combinaci´on lineal de impulsos desplazados
7.Transformada Z y sus propiedades.
En matemáticas y en el procesamiento de señales, la transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja
8.Transformada Z inversa
La notación para la transformada z inversa es {\mathcal{Z}}^{-1}. La transformada z inversa de X(z) da como resultado la correspondiente secuencia de tiempo x(k).
Se observa que la transformada z inversa sólo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo. De esta manera, la transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no da única x(t), y también, una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo, t = 0, T, 2T, ..., y no dice nada acerca de los valores de x(t) en todos los otros tiempos.