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:warning:TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN - Coggle Diagram
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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR PARTES
Es para simplificar integrales de la forma:
∫f(x).g(x)
es útil cuando f es derivable de forma repetida y g es integrable sin dificultad.
Esta se deduce de aplicar la regla del producto de las derivadas, algo como
∫d/dx(f(x)g(x)=∫f´(x).g(x)dx+∫f(x).g´(x)dx
Asi definimos la integración por partes como
FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES
:
Otra frorma de escribirlo
También se puede usar para
integrales definidas
usando los límites de integración, y evaluando f(x).g(x) en los límites
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
PRODUCTOS DE POTENCIAS DE SENOS Y COSENOS
Sirve par integrales de la forma
3 CASOS
Caso 1
:
m es impar
y lo escribimos como 2k+1 y utilizamos la identidad sen^2(x)=1-cos^2(x)
Después combinamos en la integral el senx que queda solo con dx y haceos igual a d(-cosx)
Caso 2
:m es par y n es impar, escribimo n como 2k+1 y utilizamos la misma identidad que en el caso 1, solo que sustituimos el cosx por el senx
luego reemplazamos cosxdx por d(senx)
Caso 3
:m y n son pares, y sustituimos
para reducir el intengrando a uno en potencias menores de cos 2x
PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS
Sirve para las integrales del tipo,
INTEGRALES IMPROPIAS
LÍMITES DE INTEGRACIÓN INFINITOS
DEFINICIÓN
: Las integrales con límites de integración infinitos son integrales impropias del tipo 1
:!:Si f(x) es continua en [a, ∞), entonces
:!:Si f(x) es continua en (-∞,b], entonces
:!: Si f(x) es continua en (-∞,∞), entonces
INTEGRANDO CON ASÍNTOTAS VERTICALES
Otro tipo de integrales impropias son las que el integrando tiene una asíntota verticale en un límite de integración o en un punto entre ellos. Si f>0, la interpretamos como el área bajo la gráfica.
DEFINICIÓN
:Las integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto dentro del intervalo de integración son integrales impropias del tipo 2
:fire: Si f(x) es continua en (a,b] y discontinua en a, entonces
:fire: Si f(x) es continua en [a,b) y discontinua en b, entonces
:fire: Si f(x) es discontinua en c, donde a<c<b, y continua en [a,c)U(c,b], entonces
Si el límite es finito, es decir, tiende a un valor real, decimos que la integral
converge
, si no, la integral
diverge
CRITERIOS PARA CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA
TEOREMA
:
Criterio de comparación directa
: Sean f y g continuas en [a,b) con 0<f(x)<g(x) para toda x>a, entonces
:fire:
converge, si
converge
:fire:
diverge si,
diverge
TEOREMA
:
Criterio de comparación del límite
: Si las funciones positivas f y g son continuas en [a, ∞) y si:
entonces
ambas convergen o ambas divergen
