✅FUNCIONES TRASCENDENTES
FUNCIONES INYECTIVAS
DEFINICION: Una función f(x) es inyectiva en el dominio D si f(x1)≠f(x2) siempre que x1≠x2 en D
PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL: Una funcíon f(x) es inyectiva si y solo si su gráfica interseca a cada recta horizontal como máximo una vez
FUNCIONES INVERSAS
DEFINICIÓN:Suponga que f es una función inyectiva en el dominio D con rango R. La función f^(-1) se define como
f^(-1)(b)=a si f(a)=b
El dominio de f^(-1) es R y el rango es D
Componer una funcíon f(g(x)) con una función y su inversa anula cualquier trabajo
(f^(-1) o f)(x)=x
(f o f^(-1))(y)=y
DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA
- Despeje x de y =f(x). Esto proporciona una fórmula x=f^(-1)(y) donde x esta expresado como función de y
- Intercambie x e y para obtener y=f^(-1)(x), donde f^(-1) se esxpresa en el formato tradicional con x como' variable independiente e y como variable dependiente.
DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
TEOREMA:Regla de la derivada para funciones inversas: Si f tiene un intervalo I como dominio, y f´(x) existe y nunca es cero en I, entonces f^(-1) es derivable en cada punto de su dominio(el rango de f). El valor de la derivada de f^(-1) en un punto b en el dominio de f^(-1)es el recíproco del valor de f´ en a=f^(-1)(b) 
LOGARITMOS NATURALES
DEFINICIÓN: El logaritmo natural es la función dada por 
, x>0
✅ A partir del teorema fundamental, ln x es una función continua, si reemplazamos x=1, se convierte en una integral de ancho cero, así
ln(1)=0
✅ Existe un número entre 2 y 3, tal que el área bajo la curva de 1/t es igual a un cuadrado de 1 unidad, este es el número e, así
ln(e)=1
LA DERIVADA DE ln(x)
DEFINICIÓN Y DEDUCCION: Según la primera parte del teorema fundamental
Así, aplicando tambien la regla de la cadena, nos queda la derivada del logaritmo natural
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
∫1/u.du
Esta integral es muy importante para los logaritmos, ya que la podemos simplificar con la definición de ln(x), así
∫1/u.du=∫f´(x)/f(x).dx=ln|f(x)|+C
Así definimos la integral de la tg(x)
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FUNCIONES EXPONENCIALES
INVERSA DE ln(x)
Se define como ln(e^r)=r.ln(e)=r.1, asi si aplicamos ln^-1 a ambos lados nos queda
e^r=exp(r)
DEFINICIÓN: Para todo número real x, definimos la función exponencial natural como:
e^x=exp(x)
LA DERIVADA E INTEGRAL DE e^x
La derivada se deduce de la definición de función inversa
Luego aplicando derivada de ambos lados , y pasando e^x multiplicando
Aplicando la regla de la cadena definimos
Si u es cualquier función derivable de x, entonces definimos la derivada de e^x como
Como e^x es su propia derivada, también es su propia antiderivada
La antiderivada de e^u general es
LA FUNCIÓN a^x
DEFINICIÓN: Para cualesquiera números a>0 y x, la funcíon exponencial con base a se define como
DERIVADA E INTEGRAL
DERIVADA:Comenzamos con la definición y aplicamos derivada de amobos lados
Así definimos la derivada como
DEFINICIÓN: Si a>0 y u es una función difernciable de x, entonces a^u es una función derivable de x, y
LA INTEGRAL DE a^u
FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L´HOPITAL
Si dos funciones f(x) y g(x) son cero en x=a, entonces
no se puede determinar reemplazando x por a. Algunos límites se pueden manipular, pero otros nos lleva a una forma indeterminada 0/0. La regla de L´Hopital nos permite recurrir a nuestro éxito con el ´limite de las derivadas para evaluar los límites que nos llevan a formas indeterminadas.
TEOREMA:Regla de L´Hopital:Suponga que f(a)=g(a)=0 y que f y g son deirvables en un intervalo abierto I que contiene a x=a, y que g´(x)≠0 en I si x≠a. Así.
suponiendo que el límite de la derecha existe
Para utilizar la regla, debemos continuar derivando cuanto sea necesario, hasta llegar a una expresión que no sea una forma indeterminada
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
DEFINICIÓN DE TRIGNOMÉTRICAS INVERSAS
Las seis funciones trigonométricas no son inyectivas, pero restringiensdo su dominio si lo son. Así teniendo en cuenta los periodos de cada función, las restringimos y se vuelven inyectivas y definimos su inversa
LAS FUNCIONES arcseno, arccos, arctg y arccotg
.La función arcseno es el número para el cual sen(y)=x .
La función arccoseno, es el numero para el cual cos(y)=x
.La función arctg es el número para el cuál tg(y)=x
.La función arccotg es el número para el cuál cotg(y)=x
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Para hallar las derivadas de estas inversas, debemos aplicar la regla de las derivadas para funciones inversas, hacer sustitucion con indentidades trigonometricas.
FORMÚLAS DE INTEGRACIÓN
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
6 FUNCIONES HIPERBÓLICAS BÁSICAS
Estas se definen todas a partir del seno y coseno hiperbolico, al igual que las trigonometricas normales.
IDENTIDADES 
DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
Son combinaciones racionales de las funciones derivables e^x y e^-x, y sus fórmulas se deducen de la derivada d e^u
INTEGRASLES DE HIPERBÓLICAS 
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Son muy útiles en integración, y debemos restringir los dominios para hacer que las funciones sean inyectivas y asi, tengan inversa
DERIVADAS E INTEGRALES
