🚩APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
CALCULO DE VOLUMENES POR MEDIO DE SECCIONES TRANSVERSALES
Una sección transversal de un sólido S es la región plana fromada por la intersección de S con un plano, existen tres métodos para obtener las secciones transversales, el de las rebanadas, el de los discos y el de las arandelas
MÉTODO REBANADAS: Dividimos [a,b] en subintervalos de ancho Δx, con planos perpendiculares al eje x, asi
Vól. de la k-ésima placa≈ A(x).Δx
Si aproximamos el volumen mediante una suma de Riemann, que sume todos lod volumenes de todas las placas, y buscamos que los subintervalos sean infinitos o el ancho sea 0, encontramos la integral para definir el volumen
DEFINICION: El volumen de un sólido de área de sección transversal integrable conocida como A(x) desde x=a hasta x=b es la integral de A(x) desde a hasta b
MÉTODO DE LOS DISCOS: Cuando hacemos girar una región plana alrededor de un eje obtenemos un solido de revolución, casi siempre algo similar a una figura cilindrica. El área de estos discos obtenidos es
A(x)=π.R(x)^2
DEFINICIÓN: El volumen de un solido de revolución con radio R(x) es
Si este gira alrededor del eje y, reemplazamos x por y, y dx por dy, ademas de los límites de integración
MÉTODO DE LAS ARANDELAS: Si la región no cruza o hace frontera con el eje x, tendra un agujero, y por consecuencia dos cilindros, uno de radio interior r(x) y uno de radio exterior R(x), el área la definimos igual que la de los discos, solo que usamos los dos radios
DEFINICIÓN: El volumen de un sólido de revolución generado por hacer girar dos funciones que lo limitan, siendo estas funciones sus radios mayor y menor, es
CÁLCULO DE VOLÚMENES POR MEDIO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS
REBANADAS MEDIANTE CILINDROS
Rebanamos el sólido' utilizando cilindros circulares de radios crecientes de manera perpendicular al eje x, siendo el eje del cilindro paralelo al eje y , se observa que su9 volumen es aproximadamente igual a una pieza rectangular con area A(x) y grosor dx
MÉTODO DE LOS CASCARONES
Sea P una partición y ck el punto medio del k-ésimo subintervalo, aproximamos mediante rectángul'os de la misma forma que para los demás métodos, el volumen a partir del rectángulo sera
ΔVk=2π.radio promedio del cascarón.altura.grosor
Si aproximamos el volumen del sólido mediante una suma de Riemann, y buscamos el límite de esta suma cuando ||P|| tiende a cero, hallamos asi la integral para calcular el volumen de este sólido
DEFINICIÓN: El volumen generado al hacer girar alrededor de x=L, la región entre el eje x e y=f(x)>0, en el intervalo [a,b] es
LONGITUD DE ARCO
Si tenemos una curva suave, es decir, tiene derivada, podemos hallar la longitud de esta curva en un intervalo.
Dividimos la curva en [a,b] en subintervalos con a=x0<x1<...<xn=b. Si f(xk)=y entonces Pk(xk,yk) está en la curva. Conectamos los puntos Pk-1 y Pk y vemos que forman una trayctoria poligonal, que su longitud aproxima la longitud de la curva. Si Δxk=xk-xk-1 y Δy=yk-yk-1, entonces un segmento de la recta es
Luego si lo aproximamos como una suma, y ademas sabemos por el teorems del valor medio que Δyk=f´(ck).Δxk. Reaalizamos esta sustitución también en la suma y buscamos el límite de la sumatoria de todos estos productos cuando ||P|| tiende a cero, y definimos la integral para la longitud de arco
DEFINICION: Si f´es continua en [a,b], entonces la longitud de arco de la curva y=f(x) desde A(a,f(a)) hasta B(b,f(b)) es el valor de la integral
AREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
DEFINICIÓN: Si f(x)>0 es continuamente diferenciable en [a,b], el área de la superficie generada al hacer girar alrededor del eje x la curva y=f(x) es