Cuando necesitamos determinar el área bajo la curva de una gráfica, podemos estimarlo mediante sumas de áreas de rectángulos. Las sumas pueden ser:
✅Rectángulos no contenidos en la función, para una suma superior
✅Rectángulos contenidos en la función, para una suma inferior
✅Rectángulos cuyas alturas sean los valores de f en los puntos medios de sus bases, denominada regla del punto medio

Si f está definida en [a,b], subdivimos en intervalos, no necesariamente del mismo ancho, y formamos las sumas de la misma forma seleccionando {x1,x2,x3,....xn-1} entre a y b, así
a=x0<x1<x2<x3....<xn-1<xn=b
Este es el conjunto P llamado partición de [a,b]. Luego el ancho Δx1, Δx2, Δxk que es xk-xk-1. En cada subintervalo seleccionamos un punto ck y evaluamos f(ck), así fromamos el producto f(ck).Δxk y definimos la suma de Riemman

Teniendo como base la idea de que la norma ||P|| de las particiones tienden a cero, los valores de las sumas tienden a una valor límite J. Una suma está cercana a J siempre que la norma sea suficientemente pequeña. ε especifica que tan cercano a J debe estar la suma de Riemman y, δ que tan pequeña debe ser la norma.

DEFINICIÓN: Sea f(x) una función definida en un intervalo [a,b]. Decimos que J es la integral definida de f en [a,b] y que J es el límite de las sumas de Riemann si satisface la siguiente condición:
Dado cualquier ε>0 existe un δ> tal que para toda partición P={x0,x1,x2,....xn} de [a,b] con ||P||<δ y cualquier elección de ck en [xk-1,xk] tenemos

Si existe el límite de estas sumas cuando n tiende a cero, y es igual a J entonces J es la integral definida de f en [a,b]. Leibniz imaginó que las sumas infinitas, se convertían en sumas infinitas, de valores de f(x) multiplicadas por anchos iniftesimales dx. Reemplazo los simbolos de la sumatoria, para crear la notación de la integral definida, haciendo como si sumaramos todos los productos de la forma f(x).dx, a lo largo de cierto intervalo [a,b], así

FUNCIONES INTEGRABLES Y NO INTEGRABLES

DEFINICIÓN: Si y=f(x) es no negativa e integrable en [a,b], enotnces el área najo la curva es la integral definida de f de a a b

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Este teorema afirma que el valor promedio se alcanza en al menos un punto , es decir, existe c en [a,b], tal que el rectangulo con altura f(c) y base [a,b] tiene la misma área que la región debajo de y=f(x)

TEOREMA:Teorema fundamental del cálculo: Parte 1:Si fes continua en [a,b], entonces

es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y su derivada es f(x)

TEOREMA:Teorema fundamental del cálculo: Parte 2: Si f es continua en [a,b] y F es cualquier antiderivada de f en [a,b], entonces:

TEOREMA: Teorema del cambio efectivo: El cambio efectivo de una función F(x) a lo largo de [a,b] es la integral de su tasa de cambio

SUSTITUCION:APLICACION DE LA REGLA DE LA CADENA HACIA ATRAS

TEOREMA:Regla de la sustitución: Si u=g(x) es una función derivables cuyo rango es un intervalo I, y f es continua en I, entonces:
∫ f(g(x).g´(x)dx=∫ f(u)du

Queremos determinar el área de la región que está acotada por la curva y=f(x) por arriba, y=g(x) por debajo, y por a y b por derecha e izquierda, si aproximamos la suma de los rectángulos, mediante sumas de Riemann, siendo la altura [f(x)-g(x)] y el ancho Δx, y buscamos que la norma de la partición tienda a cero, definimos la integral para el área que existe entre las curvas en [a,b]