Hàm số có thể được cho/ thấy bằng bảng hoặc bằng công thức

Định nghĩa:
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.

Câu hỏi: Để xác định vị trí của 1 điểm (hay 1 thứ gì đó) trên mặt phẳng ta phải làm cách nào?
=> TL: vẽ hệ trục tọa độ Oxy

ứng dụng của mặt phẳng tọa độ cũng giúp ta quan sát và thống kê được

Nhắc lại biểu thức là gì?
các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính
(cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) làm thành một biểu thức.
Chẳng hạn : 5 + 3 − 2 ; 12 : 6 . 2 ; 153 . 47 ; 4 . 32 − 5 . 6 ;
13 . (3 + 4) là những biểu thức.

=> hay còn được gọi là: "BIỂU THỨC SỐ"

Từ khái niệm biểu thức được sử dụng trong toán học, vật lí. Sau này người ta còn bổ sung thê các chữ (đại diện cho các số).
vd: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x + y) ; x2 ; xy, s = v.t...
Và người ta gọi những biểu thức đó là:
"BIỂU THỨC ĐẠI SỐ"

• Và các chữ đó được gọi là: "BIẾN (SỐ)"

Toán học với sức khoẻ con người:
(vào sách đọc lại rất hay)
Sau đây là một công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người :
Nam : P = 0,057h − 0,022a − 4,23
N÷ : Q = 0,041h − 0,018 a − 2,69

h : chiều cao tính bằng xentimét,
a : tuổi tính bằng năm,
P, Q : dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít.
Ví dụ : Bạn Lan (nữ) 13 tuổi, cao 140cm thì
dung tích chuẩn phổi của Lan tính theo công
thức trên là :
0,041 ì 140 − 0,018 ì 13 − 2,69 = 2,816 (lít).

Giả sử Lan hít một hơi thật sâu rồi thổi thật căng quả bóng. Nếu quả bóng sau khi
thổi có đ−ờng kính bằng 17 cm thì theo công thức tính thể tích hình cầu bán kính R
là 4 πR^ 3
3
dung tích phổi của Lan sẽ vào khoảng :
4 3
ì 3,14 ì 8,5 ì 8,5 ì 8,5 ≈ 2571(cm3) ≈ 2,571 (lít).
Nh− vậy, bạn Lan cần rèn luyện, tập thể dục nhiều hơn cũng nh− cần bố trí thời
gian học tập, vui chơi và có chế độ ăn uống hợp lí !

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một
tích giữa các số và các biến.
vd: 9 ; 3 5 ; x ; y ; 2x^3y ; −xy^2z^5 ; 3/4 x^3y^2xz

• note:Số 0 đc gọi là đơn thức không

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi
biến đã đc nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Bậc của 1 đơn thức: là tổng các số mũ của các biến trong đơn thức đó

Thực hiện các phép tính trên đơn thức - ta dựa vào tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân các số và quy tắc nhân hai luỹ thừa cùng cơ số

Đơn thức đồng dạng:
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ
số khác 0 và có cùng phần biến.
(có nghĩa là thay đổi hệ số nào cũng đc trừ số 0)

Đa thức là một tổng (gồm cả hiệu) của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là
một hạng tử của đa thức đó.

Bậc của đa thức:
là bậc cao nhất trong các bậc

(Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của
đa thức đó.)

(MẸO) Hay! Người ta đã chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có
một nghiệm, đa thức bậc hai có không quá hai nghiệm,

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Giống như phép chia: số có nhiều chữ số chi cho số có một hoặc nhiều chữ số
(xem lại sách lớp 8 tập 1 - bản cũ)

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A (trên/ phần) B = A / B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu)

hệ thức 2x + 5 = 3(x - 1) + 2 là một phương trình
với ẩn số x (hay ẩn x).

Cho phương trình dạng 2(x + 2) - 7 = 3 - x <= đây là phương trình 1 ẩn

a) x = - 2 có thoả mãn phương trình không ?
b) x = 2 có là một nghiệm của phương trình không? <= đây cũng là 2 phương trình 1 ẩn

• a) Lưu ý quan trọng: x = m (với m là 1 số nào đó) cũng là 1 phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.
  Vậy: x = -2 và x = 2 là 1 phương trình !!!
  
  
  

• b) Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, ..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm

Tập nghiệm & nghiệm
Nghiệm là số thỏa được phương trình đó
Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu bởi S.

• Khi bài toán yêu cầu giải một phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó

Phương trình tương đương là gì?
Khi 2 phương trình có tập nghiệm giống nhau
vd: Phương trình x = -1 có tập nghiệm là {-1}. Phương trình x + 1 = 0 cũng có
tập nghiệm là {-1}

Sự ra đời của khái niệm ẩn số và kí hiệu ẩn số là một bước tiến quan trọng trong lịch sử phát triển của lí thuyết phương trình.

Phân biệt dạng [phương trình bậc nhất 1 ẩn] & [phương trình 1 ẩn]:
phương trình bậc nhất 1 ẩn - có vế phải = 0

Nhặc lại tính chất phép nhân:
Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0; ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích bằng 0. => điều này quá hiển nhiên

Tại sao ta biến đổi phương trình phải xét điều kiện?
Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình ban đầu. (nghĩa là số nghiệm tìm được sẽ ko đúng!)

Bởi vậy, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

Nên ta phải Bước 3: Đem kết quả vừa tính ở phương trình mới (1') kiểm tra cho phương trình ban đầu xem nó có đúng là nghiệm của phương trình ban đầu (1) hay ko

Hàm số có mối quan hệ với đại lượng biến thiên !!

Phương trình Diophantos (p.t vô định)
phương trình vô định (tức là các phương trình có nhiều hơn một ẩn số)

Ngày nay, thuật ngữ phương trình Đi-ô-phăng được dùng để chỉ các phương trình vô định mà ta chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên của chúng mà thôi

Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

• Bước 1. Lập phương trình:
  
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
  • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
• Bước 2. Giải phương trình.
• Bước 3. Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a  b, a  b) là bất đẳng thức và gọi a
là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Nếu a là số gần đúng của ^a thì Δa gọi là sai số tuyệt đối!
Δa = | ^a − a|

Đọc sgk trang 20 - để hiểu vd này:

(Lấy 2 số 3,1 & 3,14 đã của 2 bạn Nam & Minh để thực hiện)

3,1 < 3,14 < π < 3,15.
Do đó 12,4 < 12,56 < S < 12,6.
Từ đó suy ra |S − 12,56| < |12,6 − 12,56| = 0,04
|S − 12,4| < |12,6 − 12,4| = 0,2.

chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau,… đây là những nền móng đầu tiên của lượng giác.

Không chỉ dừng lại ở việc đo góc, những nền văn minh cổ đại như Hy Lạp, Ai Cập họ đã phát hiện mối quan hệ giữa góc và độ dài.

vì sao phải định lượng góc? Theo ngu ý (*) của người viết đến từ việc quan sát thiên văn của những học giả từ những nền văn minh đầu tiên, họ nhận thấy có sự thay đổi nhất định của vị trí các chòm sao (như hình dưới), vậy để mô tả sự thay đổi vị trí của các chòm sao họ nên dùng phương pháp nào? Không thể dùng các đơn vị đo độ dài, vì không có cơ sở đo đạc các chòm sao (tại thời điểm đó, thời điểm mà nhân loại hình dung trái đất là trung tâm của vũ trụ – thuyết địa tâm). Họ suy nghĩ đến việc nếu xem điểm quan sát là tâm và hình dung vũ trụ một hình cầu bao quanh, thì mỗi “góc” mà chòm sao đi được là biểu thị cho sự vận động của chòm sao đó, như thế “quãng đường” mỗi ngôi sao, chòm sao sẽ có thể được đo bằng một hệ đơn vị đồng nhất (trong trường hợp của người Lưỡng Hà chính là đơn vị độ) từ đó duy trì tính nhất quán của việc quan sát.
https://zefropictures.files.wordpress.com/2021/07/zefro-toan-quan-sat-chom-sao-lap-ho-2.png

Vì sao mà những ông tổ của ngành toán lựa chọn các tỉ lệ của tam giác vuông để định nghĩa các giá trị lượng giác? Chúng ta có thể nhìn ra một số lý do như sau:

• Tiên đề V: Qua 1 điểm chỉ có duy nhất 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng bất kỳ. Điều này dẫn đến 1 hệ quả đó là: Qua 1 điểm bất kỳ tồn tại duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng bất kỳ (Bạn đọc có thể tự chứng minh)
• Sự đồng dạng hình học của tam giác: 2 tam giác đồng dạng ó các góc tương ứng bằng nhau, tỉ lệ các cạnh tương ứng đôi một bằng nhau (Đọc thêm SGK Toán 8 – phần Hình học).

• Định lý Pythagoras trong tam giác vuông: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông. Điều này có ý nghĩa gì? Trong các dạng tam giác không đặc biệt, để biết thông số 3 cạnh, chúng ta cần đo đạc cả 3 cạnh. Với tam giác vuông, khi chúng ta biết 2 trong 3 cạnh chúng ta có thể biết được độ dài cạnh còn lại một cách thuần nhất thông qua đẳng thức Pythagoras. Nhưng vì sao tam giác đều và tam giác cân không được sử dụng? (Đây là một câu hỏi cho các bạn đọc giải mã)

  
  

  Từ những dữ kiện nêu trên, chúng ta có thể hình dung lý do mà các học giả Lưỡng Hà, Ai Cập và Hi Lạp dùng tam giác vuông để định nghĩa giá trị sin (tiếng anh sine), cosin, tang. Hãy cùng điểm nhau qua:

  
  
  
  • Các tỷ lệ lượng giác như sin, cosin, tang nếu định nghĩa bằng tỉ lệ canh của tam giác vuông thì dù kích thước tam giác có biến đổi đồng dạng như thế nào các giá trị lượng giác cho một góc là không đổi
  • Đưa ra các giá trị lượng giác được định nghĩa bởi tỉ lệ độ dài để định nghĩa cho mối quan hệ giữa 2 yếu cơ bản nhất trong hình học: góc và cạnh

(Quan trọng) Nắm các khái niệm:

• Đường tròn định hướng & cung là gì?
• Góc lượng giác?
• Đường tròn lượng giác? (đường tròn mà cắt 2 trục tọa độ trong mặt phẳng tọa độ thì nó là 1 đường tròn lượng giác với điểm gốc của đường tròn đó là gốc A (1 ; 0) )

QUAN TRỌNG
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kinh (R) được gọi là cung có số đo là 1 rad

Giá trị lượng giác của 1 gốc alpha là từ 0 - 180 độ

Bạn có biết:
Người ta đo khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng như thế nào?

Một phương trình đa thức có hai số hạng thường được nối với nhau bằng dấu cộng hoặc dấu trừ được gọi là một nhị thức. Nhị thức được sử dụng trong đại số. Đa thức có một số hạng sẽ được gọi là đơn thức và có thể trông giống như 7x. Một đa thức có hai số hạng được gọi là một nhị thức; nó có thể trông giống như 3x + 9. Dễ nhớ là nhị thức vì bi có nghĩa là 2 và một nhị thức sẽ có 2 số hạng.
Một ví dụ cổ điển như sau: 3x + 4 là một nhị thức và cũng là một đa thức, 2a (a + b) 2 cũng là một nhị thức (a và b là các thừa số của nhị thức).

Trên đây đều là nhị thức.
Khi nhân các nhị thức, bạn sẽ bắt gặp một thuật ngữ gọi là phương pháp FOIL , thường chỉ là phương pháp được sử dụng để nhân các nhị thức.

Ví dụ: để tìm tích của 2 nhị thức, bạn sẽ thêm các tích của các số hạng đầu tiên F , các số hạng tử cung, các số hạng I nner và các số hạng L ast .

Khi bạn được yêu cầu bình phương một nhị thức, điều đó đơn giản có nghĩa là nhân nó với chính nó. Bình phương của một nhị thức sẽ là một tam thức. Tích của hai nhị thức sẽ là một tam thức.