Funciones cuadráticas
Una función cuadrática o parabólica
es una función polinómica de segundo grado
Es decir, tiene la forma
F(x)= ax²+bx+c
Siendo a≠0
Esta forma de escribir la función se denomina forma general
Elementos
Foco (F)
Directriz (D)
Parámetro (P)
Radio vector (R)
Eje (E)
Vértice (V)
Distancia focal
Es un punto fijo del interior de la parábola
La distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz de la parábola
Es una recta fija externa a la parábola
Un punto de la parábola tiene la misma distancia a la directriz que al foco de la parábola
Es la distancia desde el foco hasta la directriz
Es el segmento que une un punto de la parábola con el foco
Su valor coincide con la distancia del punto hasta la directriz
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y es el eje de simetría de la parábola
Es el punto de intersección entre la parábola y su eje
Es la distancia entre el foco y el vértice , o entre la directriz y el vértice
Su valor siempre es igual a p/2.
Representación gráfica
de la parábola
Para construir una gráfica de parábola se
requiere conocer los siguientes elementos
Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola, es decir, cuando el coeficiente del término x² es positivo
El vértice será el punto más bajo de la gráfica
y las fórmulas para encontrarla son las siguientes
Asimismo la ecuación del eje simétrico es
Punto de corte con el eje x
Para encontrar el valor de x, cuando f(x)=0
La segunda coordenada debe igualarse a cero (0), por lo que tendremos que resolver la ecuación ax²+bx+c=0
Al resolver ecuación los
resultados puede ser
Dos puntos de corte : (x1,0) y (x2,0) esto sucede se b²–4ac>0
Un punto de corte: (x1,0) esto sucede si b²–4ac= 0
Ninguna punto de corte si b²–4ac<0
Punto de corte con el eje y
Para encontrar la intersección con el eje y la primera coordenada debe igualarse a cero, x= 0, por lo que tendremos
f(0)=a.0²+b•0+c=c →(0,c)
La gráfica de la función cuadrática
f(x)=ax²+bx+c, a≠0,a,b c ER.
Observamos que dependiendo de la orientación de la parábola, está presenta un punto en el plano cartesiano, que es mínimo si se abre hacia arriba (cóncava) o máximo si se abre hacia abajo (convexo)
Este punto se denomina vértice de la parábola y se puede determinar a través de la expresión
El eje de simetría es una recta vertical, paralela al eje y, que atraviesa la gráfica de manera que cada rama de esta separada vpor el eje, es el reflejo de la otra, asumiendo la idea de que simula un espejo
El eje simétrico intersecta a la parábola en el vértice y al eje x en el valor x, que es la abscisa del vértice
Formas de la parábola
Forma canónica
Forma factorizada
Forma polinómica
F(x)=a(x–xv)²+y
El coeficiente a indica la
concavidad de la parábola
Si a>0 la parábola es cóncava
Si a<0 la parábola es convexa
Xv,cy, son las las coordenadas del vértice
V=Cxv,yv
Xv determina la ecuación del eje simétrico x=xv
Debemos calcular las raíces y la ordenada al origen
F(x)=a(x–x1)(x–x2)
El coeficiente a indica la concavidad de la parábola
X1 y x2 son los ceros o raíces de la función
Debemos calcular el vértice y y la ordenada al origen
F(x)=ax²+bx+c
El coeficiente a indica la concavidad de la parábola
El coeficiente c es la ordenada al origen, pues, al evaluar la función en y=0 resulta f(0)=c.
Desplazamiento
Translación vertical
Traslación horizontal
Traslación oblicua
Para hacer una transformación en vertical sumamos o restamos una constante
Y=y²+k
Si k>0, y=x² se desplaza hacia arriba k unidades
Si k<0, y=x² se desplaza hacia abajo k unidades
El vértice de la parábola es:(0,k)
El eje de simetría x=0
Para hacer una transformación en horizontal sumamos o restamos una constante pero está vez dentro del término cuadrático
Y=(x+h)²
Si h>0, y=x² se desplaza hacia la izquierda h unidades
Si h<0, y=x² se desplaza hacia la derecha h unidades
El vértice de la parábola es: (–h,0)
El eje simétrico es x=– h
Es la combinación de una translación de una translación vertical y horizontal
Y=(x+h)²+k
El vértice de la parábola es (–h,k)
El eje simétrico es x=–h
t
La forma canónica de una función cuadrática es
F(x)=a(x–h)²+k
Donde a es el coeficiente principal, h es la primera coordenada del vértice y k es la segunda
Si la ecuación ax2+bx+c=0 no tiene solución, no podemos factorizar la función.
Si la ecuación solo tienen una solución,x1, la forma de factorizada es f(x)=(x–x1)²
