Cálculo Diferencial e Integral -2
Integração por partes
Aproximando Áreas
Integral indefinida
Primitivas
Integral por substituição
F’(x) = f(x) para todo x∈I
Mudança de variável
Inverso da regra da cadeia na derivação
Não possuem primitivas elementares
Escolha u e dv com cuidado
Constante de integração no final dos cálculos
∫ u dv = u.v - ∫ v du
Equivalente à regra do produto da derivação
dx
Constante C
Função f
Sinal de Integração
∫f(x)dx = F(x)+C
Variável de integração
Constante de integração
Integrando
∫
Sn=f(c1 ).∆x1 + f(c2 ).∆x2 + ... + f(cn ).∆xn = ∑ni=1 f(ci ).∆xi
Área sob a curva de A até B
Δx =( b-a) / n
Soma de Riemann
Regras de Integração
Regra da substituição = Regra da cadeia da derivação
Integração por partes = Regra do produto da derivação
Integral Definida
Propriedades
É igual à definição de área
Teorema do valor médio
Por substituição
Funções simétricas
Se f é par
Se f é impar
∫-aa f(x) dx = 2 ∫aa f(x) dx
∫-aa f(x) dx = 0
∫ab f(g(x)).g’ (x) dx = ∫g(a) f(u) du
Encontrar integral indefinida
usar uma das primitivas
Teorema fundamental do cálculo
f(x) ≥ 0,⊃ x ∈ [a,b]
Soma e diferença ∫ab [f(x)±g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
Aditividade no domínio: ∫ab f(x) dx + ∫bc f(x) dx = ∫ac f(x) dx.
Multiplicação por constante ∫ab k.f(x) dx = k ∫ab f(x) dx
Se f(x) ≤ g(x) no intervalo [a,b], então ∫ab f(x) dx ≤ ∫ab g(x) dx
se A=B e f(a) existe, então ∫aa f(x) dx=0
Desigualdade max-min: se f tem o valor máximo maxf e o valor mínimo minf em [a,b],
então minf.(b-a)≤∫ab f(x) dx ≤ maxf.(b-a)
Mudança da ordem de integração
Dominação: f(x) ≥ g(x) em [a,b]→∫ab f(x) dx ≥ ∫ab g(x) dx
∫ab f(x) dx = - ∫ba f(x) dx
Teorema Fundamental do Cálculo
F ’(x) = f(x)
Relação entre cálculo diferencial e integral
∫ab f(x) dx = F(b)-F(a)
Integrais Impróprias
intervalos com descontinuidade infinita no intervalo de integração
intervalo infinito de integração
intervalos de integração infinitos
Integrais Trigonométricas
Integrais de seno e cosseno de arcos diferentes
Integrais de potência de tangente e secante
Integrais de produto de seno e cosseno
Integrais de produto de tangente e secante
integrais de potência de seno e cosseno
sen2x + cos2 x = 1
Se a potência do cosseno é par
Se a potência do seno é impar
Se a potência do cosseno é impar
Se a potência do seno é par
cos2 x = 1 - sen2 x
sen2 x = 1 - cos2 x
cos2 x =1/2 (1 + cos 2x)
sen2 x =1/2 (1 - cos 2x)
∫ tg x dx = ln|sec x|+C
∫ sec x dx = ln|sec x + tg x|+C
Se a potência da secante é impar
Se a potência da tangente é par e a potência da secante impar
se a potência da tangente é impar
sec2 x = tg2x + 1
tg2x = sec2x - 1
tg2x = sec2 x-1
Mapa Mental
Aluno-Reginaldo Felício Angelo Engenharia Civil