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(Teoría del mercado de capitales, Portafolio Óptimo), Equilibrio de…

- - - - La elección de un portafolio en base a los rendimientos esperados y el riesgo de los instrumentos individuales está dada a una infinidad de portafolios que pueden ser creados. Estos portafolios pueden ser graficados como:
        
        La ilustración muestra:
        
        Los puntos A y B (rombos) representan el E(Ri) y la σi.
        
        E(rA) > E(rB) y σA > σB
        
        La acción de A tiene un rendimiento esperado y una desviación estándar más altas que los de B
        
        El cuadro “●” representa un portafolio invertido 60% en A y 40% en B. La elección del 60% de A y 40% de B es uno de los portafolios que pueden crearse de una infinidad de portafolios, por ejemplo, el portafolio 1 se compone de un 90% de B y un 10% de A; el portafolio 2, se compone de 50% en B y 50% en A; y, el portafolio 3 se compone de 10% en B y 90% en A
        
        El conjunto de portafolios supone que todos los instrumentos del conjunto eficiente son riesgosos.
        
        Existen curvas diferentes para cada correlación
        
        Si p= 1, la línea recta entre el punto de A y B representa el conjunto de portafolios generados.
        
        Si el p < 1, la línea tiene más curvatura a la izquierda; esto indica que el efecto de diversificación aumenta conforme p disminuye.
        
        Si p = -1 (cuando correlación negativa perfecta), se presenta la mayor curvatura.
        
        En el mundo, no existen simultáneamente dos correlaciones, ya sea que p = - 0.1639 y la curva existe, o que p = 1 y que la recta existe.
        
        El individuo que contempla una inversión en un portafolio se enfrenta a un conjunto de oportunidades o un conjunto factible de inversión. Es decir, solamente puede alcanzar cualquier punto sobre la curva seleccionando la mezcla apropiada entre los dos instrumentos.
        
        El punto VM denota el portafolio de desviación estándar mínima o portafolio de varianza mínima.
        
        Por definición, el portafolio de varianza mínima debe tener la menor σp o σp ^2 posible.
        
        Los inversionistas solamente pueden alcanzar cualquier punto sobre la curva. **No pueden alcanzar puntos por encima o por debajo de la Curva porque no puede cambiar: sus rendimientos E(Ri); sus desviaciones estándares σi; y, la correlación entre ellos.
        
        Si el inversionista fuera relativamente tolerante al riesgo podría elegir el punto al final, invirtiendo todo su dinero en A. Un inversionista con menos tolerancia al riesgo podría elegir el portafolio 2.
        
        Un inversionista que deseara menos riesgo posible elegiría VM, el portafolio con varianza mínima o la desviación estándar mínima.
        
        La curva presenta una curvatura negativa entre el punto de B y VM (de B hacia VM). Esto indica que, para una porción del conjunto factible, la desviación estándar disminuye en realidad conforme uno aumenta el rendimiento esperado. Este resultado se debe al efecto de diversificación.
        
        Ningún inversionista querrá tener un portafolio con un E(RP) menor al portafolio VM. Se dice que los portafolios como el 1 están dominados por el portafolio VM.
        
        Toda la curva de B hasta A se llama conjunto factible, los inversionistas solo consideran la curva desde VM hasta A.
        
        La curva de VM hasta A se llama conjunto o frontera eficientes.
        
        Un conjunto eficiente también se puede generar en base a dos portafolios. Por ejemplo, un portafolio de acciones estadounidenses y un portafolio diversificado de acciones europeas.
    - - Generalmente, los inversionistas tienen más de dos instrumentos en su portafolio
        
        La ilustración muestra que:
        
        El área sombreada representa: el conjunto de oportunidades ; todas las combinaciones posibles de rendimientos esperados y desviaciones estándar de un portafolio de tres instrumentos.
        
        Todas las combinaciones posibles son virtualmente ilimitadas, pero caen dentro de la región específica
        
        Nadie puede elegir un portafolio con un rendimiento esperado E(RP) superior o con una desviación estándar inferior a los dados por la región sombreada. En otras palabras, los mercados de capitales evitan la posibilidad de que una persona autodestructiva asuma una pérdida garantizada.
        
        En el caso de que se manejen muchos instrumentos, las combinaciones cubren un área completa de manera opuesta cuando solo se tienen dos instrumentos (todas las combinaciones quedan sobre una sola curva)
        
        El hecho de que aparezca un área sombreada en la ilustración de tres instrumentos y no en la de dos, NO es una diferencia importante. Ningún inversionista elegiría ningún punto por debajo de la frontera eficiente (entre los puntos VM y A)
    - - La frontera eficiente se puede encontrar resolviendo el siguiente problema de optimización restringida
        fijando distintos niveles de rendimiento:
    - - En un PORTAFOLIO DE MUCHOS INSTRUMENTOS, la varianza del rendimiento sobre un portafolio depende más de las covarianzas entre los instrumentos individuales que sus varianzas, ya que el número términos de la covarianza aumenta a N^2 - N, mucho más rápido que el número de términos de N
        
        Para ilustrar que la varianza del rendimiento sobre un portafolio con muchos instrumentos depende más de las covarianzas entre los instrumentos individuales que sus varianzas, se supone lo siguiente:
        
        Los instrumentos del portafolio poseen la misma varianza (var) y covarianza (cov).
        
        La varianza y covarianza se van a representar como var y cov.
        
        La var debe ser mayor que cov (Var > Cov)
        
        En el portafolio, la ponderación de cada instrumento es igual a 1/N; entonces, Xi =1/N
        
        La matriz de varianzas y covarianzas bajo estos supuestos sería:
        
        la varianza del portafolio es igual a:
        
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    - - La varianza de los instrumentos individuales se elimina conforme aumenta el número de instrumentos. De hecho, la varianza del portafolio se convierte en la covarianza promedio, cov. Por tanto, la varianza de los instrumentos está diversificada, pero los términos de la covarianza no pueden diversificarse. Pero una parte de todo el riesgo puede diversificarse
        
        Puesto que la varianza del portafolio se aproxima a cov, cada instrumento adicional sigue reduciendo el riesgo. Si no hubiera comisiones ni otros costos de transacción, se podría afirmar que uno nunca puede lograr demasiada diversificación. Desafortunadamente, existe un costo por diversificación. Meir Statman afirma que se necesita un portafolio aproximadamente de 30 acciones para alcanzar una diversificación óptima.
        
        Los inversionistas están expuestos a la incertidumbre del mercado independiente del número de acciones que posean. Por eso las acciones tienden a moverse en el mismo sentido.
        Por lo tanto, la varianza del rendimiento de un instrumento se puede desglosar de la siguiente forma:
        
        El riesgo diversificable, único o no sistemático es aquel que puede diversificarse en un portafolio grande, mismo que deber ser (VAR – COV). Por lo tanto, el riesgo no sistemático desaparece en un portafolio bien diversificado.
        
        Por lo tanto, la diversificación en el portafolio de acciones puede eliminar parcialmente el riesgo, pero no completamente.
    - - El conjunto de portafolios de la frontera eficiente supone que todos los instrumentos son riesgosos. Sin embargo, se podría combinar una inversión riesgosa con un activo libre de riesgo.
        
        Por definición, el activo libre de riesgo NO tiene variabilidad, por lo que su desviación estándar y su varianza son iguales a CERO.
      - Caso 1: Préstamo a la misma tasa a la que puede prestar.
        
        El rendimiento esperado y la desviación estándar del portafolio formado por la solicitud de un préstamo para invertir en un activo riesgoso son:
        
        Al solicitar un préstamo de 20% de su inversión original, usted invierte 120%. El rendimiento de 14.8% es
        mayor a 14% de rendimiento esperado sobre las acciones de A porque usted invierte en un instrumento con un rendimiento esperado mayor que la Tasa Libre de Riesgo (10%).
        
        La desviación estándar del portafolio formado por la solicitud de un préstamo para invertir en un activo riesgoso (24%) es mayor a 20% de la desviación estándar de la inversión en acciones comunes de A, puesto que el préstamo aumenta la variabilidad de la inversión.
        
        Caso 2: Tasa para solicitar un préstamo está por encima de la tasa para prestar
        
        Si la tasa para solicitar un préstamo está por encima de la tasa para prestar, entonces:
        
        La línea punteada en la ilustración muestra el conjunto de
        oportunidades de solicitar un préstamo en este caso.
        
        La línea punteada se encuentra por debajo de la línea
        gruesa porque una tasa más alta para solicitar un
        préstamo disminuye el rendimiento esperado sobre la
        inversión.
  - - - Sirve para:
        
        • Describir la relación entre riesgo sistemático y el rendimiento esperado en los mercados financieros.
        
        • Describir la relación entre los rendimientos esperados y los coeficientes beta.
        
        • Describir gráficamente el modelo de asignación de precios de equilibrio (CAPM) o precios de activos de capital (CAPM).
        
        • Determinar si una inversión en un activo ofrece un buen rendimiento esperado por el riesgo asumido.
      - Aspectos CAPM
        
        Linealidad. La relación entre el rendimiento esperado y beta es una recta. Los instrumentos que tengan una beta elevada deben tener un rendimiento por encima de los instrumentos con una menor beta.
        
        Portafolios e instrumentos. La ecuación se mantiene en portafolios e instrumentos individuales.
        
        Una confusión potencial. La línea SML son diferentes con la Línea II de la ilustración “Relación entre el E(Rp) y la desviación estándar de una inversión en una combinación de instrumentos riesgosos y el activo de libre de riesgo”.
        
        Estimación de la Beta
        
        En el mundo real, cada empresa tiene su propia línea característica (SML) en donde la pendiente es su beta, aunque las betas de las compañías son desconocidas. Para estimar la pendiente de la línea característica se utiliza un modelo de regresión. La beta de un título es igual a la covarianza estandarizada del rendimiento de un título con el rendimiento de la cartera de mercado. La beta de una empresa es probable que cambie si la empresa cambia de industria. En el caso de que la empresa se mantenga en la industria se esperaría que la beta se mantenga similar.
        
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  - - - Dividendo
        Ingreso generado por los dividendos que paga una compañía a sus accionistas
      - Ganancia de capital
        Ingreso (o pérdida) de la inversión generado por el cambio en el precio de la acción.
    - - Rendimientos en efectivo
      - Rendimiento del periodo de tendencia
        
        Incluye el rendimiento generado reinversión hasta el periodo final.
        
        [1 + R(0,t+1)] = [1 + R(0,1)] x [1 + R(1,2)] x [1 + R(2,3)] x … x [1 + R(t,t+1) = [1 + R1] x [1 + R2] x [1 + R3] x … x [1 + Rt]
      - Estadísticas de los rendimientos
        
        Las estadísticas de los rendimientos son una medida que sirven para describir: [1] los rendimientos históricos de un periodo (por ejemplo, de los rendimientos anuales); y, [2] la historia de los rendimientos de los mercados de capitales.
        
        Estadisticas historicas de los rendimientos
      - Rendimientos promedio de las acciones y de los activos libres de riesgo
        
        ¿Qué es el riesgo?
        
        El riesgo de los rendimientos es la posibilidad de obtener una pérdida financiera o un rendimiento menor al esperado
        
        El grado de riesgo de una inversión se puede juzgar mediante la distribución de probabilidades de los rendimientos
        
        A mayor probabilidad de pérdida, mayor el riesgo.
        
        Los bonos (u otros instrumentos) de gobierno son considerados como instrumentos libre de riesgo de INCUMPLIMIENTO, porque puede aumentar los impuestos para pagar las deudas que adquiere.
        
        La tasa libre de riesgo depende del periodo en que se miden los rendimientos
        
        La prima de riesgo
        
        Es el rendimiento en exceso (adicional) sobre activos de riesgos. Es igual a la diferencia entre el rendimiento libre de riesgo y de las acciones comunes
        
        Son calculadas utilizando los rendimientos de bono de la Tesorería a largo plazo en lugar de un certificado a 90 días,
        
        Histórica de las acciones de compañías grandes durante los últimos 77 años es de 6.4% (12.2% - 5.8%).
        
        La desviación estándar de los certificados de la Tesorería es sustancialmente inferior a la de las acciones comunes por lo que implica que el riesgo de los certificados de la Tesorería es inferior a la de las acciones comunes.
      - Distribución de probabilidad
        
        Distribución normal
        
        Propiedades
        
        Es simétrica respecto de su media, μ, el valor esperado de una distribución es el valor promedio.
        
        La moda y la mediana son iguales a la media, μ;
        
        La probabilidad de tener un rendimiento superior o inferior a la media en una cierta cantidad depende tan sólo de la desviación estándar.
        
        Es una distribución de probabilidad de una variable continua, determinada por dos parámetros, su media y su varianza finita.
        
        Una distribución de probabilidad de una v.a. es una función que asigna una probabilidad de que cada suceso ocurra.
        
        Las distribuciones de probabilidad se presentan gráficamente.
      - Teoría moderna de los portafolios-riesgo y rendimiento
        
        Estadísticas históricas de los rendimientos de los títulos individuales.
        
        Rendimiento esperado
        
        • La tasa que se espera ganar en el siguiente periodo.
        
        • Una medida cuyo valor es nuestra mejor estimación del rendimiento que se habría obtenido en un año en particular a lo largo de un periodo transcurrido.
        
        • Diferente al rendimiento real debido a que es una expectativa.
        
        • Es la tasa que se espera ganar en una acción (medida estadística). Como es una expectativa, el rendimiento recibido siempre es diferente al esperado.
        
        Variabilidad o dispersión (riesgo)
        
        La dispersión de los rendimientos alrededor de su rendimiento esperado.
        
        • Cuanto se puede desviar un rendimiento particular del promedio.
        
        • Dispersión de los rendimientos con respecto a su E(R).
        
        • El riesgo y volatilidad del rendimiento de un título. Por lo tanto, son las medidas apropiadas para medir del riesgo. Una mayor dispersión significa un mayor riesgo
        
        El riesgo y el inversionista sensible
        
        Evitan los juegos justos, ya que tienen un rendimiento esperado de cero E(R) = 0;
        
        Eligen portafolios bien diversificados porque evitan los riesgos innecesarios, tales como el riesgo no sistemático sobre una acción; y,
        
        Hacen apuestas sólo si se han suavizado los resultados, de tal manera que ya no sean justas. Por ejemplo, necesita aumentar las probabilidades de ganar (50-50 a 70-30) o más para invertir.
        
        Covarianza y correlación
        
        Miden la relación lineal de dos variables aleatorias a lo largo del tiempo.
        
        Correlación
        
        Es una medida de regresión que
        pretende cuantificar el grado de variación conjunta entre dos variables.
        
        ρAB=Corr( RA ,RB)= Cov ( RA ,RB)/σ A×σ B
        
        Covarianza
        
        Se calcula de la misma forma que la varianza, sólo que se utilizan dos series de rendimientos y no una sola
        
        σ AB=Cov ( RA,RB)=E[ Pi×(RA ,i−E( RA ))(RB,i−E( RB) )]
        
        Error de muestreo
        
        Debido al error de muestreo, la covarianza no será exactamente igual a cero en ningún caso real, aunque los dos rendimientos no estén relacionados. La aleatoriedad sola hará que el cálculo sea positivo o negativo.
        
        Cobertura
        
        Intentan eliminar o reducir cualquier riesgo que está expuesta una entidad adoptando posiciones opuestas o contrarias en el mercado original, por un lado, y en un mercado de derivados, por otro lado
        
        Diversificación
        
        Alcanzar la máxima rentabilidad con el menor riesgo posible. Busca maximizar el retorno esperado, y minimizar el riesgo.
        
        Beneficios de la diversificación:
        
        • Reducir la volatilidad del portafolio.
        
        • Reducir la vulnerabilidad del portafolio ante variaciones severas del mercado.
        
        • Resolver los problemas de market timing.
        
        Efecto de la diversificación
        
        Rendimiento y riesgo de los portafolios
        
        Tiene el propósito de analizar el efecto conjunto que tiene cada activo en el portafolio
        
        Elegir la mejor combinación de activos que generen el mayor rendimiento y la desviación estándar.
        
        Estimar:
        
        Los rendimientos esperados;
        
        Las desviaciones estándar sobre los instrumentos individuales; y,
        
        Las correlaciones entre ellos.
        
        Considerar:
        
        La relación entre el rendimiento esperado sobre los instrumentos individuales y el rendimiento esperado sobre un portafolio de dichos valores;
        
        La relación entre las desviaciones estándar de los instrumentos individuales y las correlaciones entre ellos. Es decir, la desviación estándar de un portafolio hecho con dichos instrumentos.
        
        El rendimiento esperado de un valor es la medida apropiada de su contribución al rendimiento esperado de una cartera.
- - - - Las decisiones de inversión del inversionista consiste en los siguientes pasos:
        
        Calcular el conjunto eficiente de activos riesgos, representado por la curva XAY.
        
        Determinar la tangente entre la tasa libre de riesgo y el conjunto eficiente de activos riesgosos (punto A).
        
        Determinar cómo combinará el punto A, su portafolio de activos riesgosos, con el activo libre de riesgo.
        
        Calculo de la Frontera eficiente y el portafolio óptimo
        
        La teoría de Portafolios se basa en dos principios fundamentales: (1) Maximizar el rendimiento esperado; y, (2) minimizar el riesgo o la desviación estándar de los rendimientos.
        
        Los activos riesgosos tienen un mayor rendimiento esperado, ya que los inversionistas demanda una mayor recompensa por el riesgo tomado.
        
        La diferencia entre el rendimiento esperado de un activo riesgoso y un activo libre de riesgo se llama: prima de riesgo. Sin esta prima de riesgo, pocos inversionistas desearían invertir en activos riesgosos.
        
        Los inversionistas seleccionan sus acciones tomando en consideración su aversión al riesgo. Inversionistas con baja tolerancia al riesgo (adversos) seleccionan acciones con baja volatibilidad; mientras que, los inversionistas agresivos seleccionan acciones riesgosas.
        
        Portafolios eficientes con N activos con riesgo
        
        Las matemáticas de los portafolios eficientes se generalizan el caso para varios activos con riesgo. El único portafolio con la menor varianza se lo conoce como portafolio eficiente. Nuestro objetivo es encontrar el portafolio eficiente.
        
        Para encontrar λ1y λ2 necesitamos usar las restricciones.
        
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        Portafolio de mínima varianza
        
        Remplazando μ_min en 5.24 encontramos que la menor varianza de un portafolio es Var(μmin )= g^T g- (g^Tg)^2/(h^T h)
        Si uno quiere evitar la venta en corto, entonces debe adicionar una restricción que ωi ≥ 0 ∀ i =1,…N. La minimización del riesgo del portafolio sujeto a ω^T μ= μP y ω^T 1= 1, y la restricción adiciona de no negatividad es un problema de programación cuadrática. Este problema no puede ser resuelto por los multiplicadores de Lagrange debido la restricción de desigualdad.
        
        Portafolio Tangente
        
        Si suponemos que tenemos un activo libre de riesgo y que deseamos mezclar el activo libre de riesgo con el portafolio eficiente. Uno puede ver geométricamente que existe la existe una tangente que pasa por la frontera eficiente. La combinación de un activo libre de riesgo con la tangente del portafolio se conoce como el portafolio óptimo.
        Tenemos que remover la asunción que 1^T ω=1.
        
        La restricción para satisfacer es que la ecuación 5.27 sea igual a μp .
        
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    - - El punto A representa el portafolio de activos riesgosos que el inversionista tendrá y se determina a partir de los rendimientos estimados, las varianzas y covarianzas. No se necesitan características personales como el grado de aversión al riesgo.
        
        Es decir estar sobre la línea entre Rf y A, invirtiendo algunos fondos en el activo libre de riesgo y en el portafolio A, o en un punto más allá de A, por lo que se puede pedir prestado a la tasa libre de riesgo e invirtiendo su posición en el portafolio A.
        El punto A representa un portafolio de instrumentos riesgosos, mientras la línea recta II, que va desde Rf a A, representa portafolios formados por combinaciones del activo sin riesgo y los instrumentos en A. Los puntos entre las líneas Rf y A son portafolios en los que se invierte dinero en el activo libre de riesgo y el resto se coloca en A. Los puntos más allá de A se alcanzan solicitando préstamos a la tasa libre de riesgo para comprar más de A de lo que uno podría comprar con sus propios fondos.
      - La gráfica también representa un punto importante, donde se solicitan y conceden préstamos sin riesgo, el portafolio de activos riesgosos de un inversionista siempre sería el punto A, nunca escogerá un punto del conjunto eficiente de activos riesgosos y ningún punto en el interior de la región factible. En su lugar se combinarían los instrumentos de A con los activos libres de riesgo si tuviera mucha aversión al riesgo.
      - El punto Q, representa un portafolio de instrumentos, está debajo del conjunto factible de activos riesgosos. Las personas que combinen inversiones en Q con inversiones en activos libre de riesgo alcanzarán puntos sobre la recta de Rf a Q. Un ejemplo de ello es el punto 1 y 3.
- - - - • El riesgo de mercado es explicado por la mayoría del riesgo de una cartera bien diversificada.
        • El coeficiente beta es proporcional a la covarianza del rendimiento esperado del instrumento con el rendimiento del mercado.
        • “Cuanto mayor sea la desviación estándar de las rentabilidades históricas de una acción, mayor será su volatilidad histórica y su riesgo.
        • Cuanto más volátil sea una acción con respecto al índice del mercado, mayor será su “riesgo de mercado”.
        • Cuanto mayor sea la beta (β) de una acción, mayor será su “riesgo sistemático” o “riesgo de mercado”.
        • La covarianza entre las variaciones en el rendimiento de la acción i y las variaciones en el rendimiento del mercado cov (Ri,RM) también puede expresarse como σiM = ρi,M σi σM.
        • El coeficiente beta también puede calcularse multiplicando el coeficiente de correlación entre la acción y el mercado por el cociente entre el desvío de la acción y el desvío del mercado.
        • La covarianza es una medida de cómo dos variables cambian juntas o están relacionadas; y, la varianza es una medida estadística de la dispersión de valores de la media.
        
        COMO INTERPRETAR BETA