CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PRIMITIVAS
INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
INTEGRAÇÃO POR PARTES
APROXIMANDO ÁREAS
INTEGRAL DEFINIDA
O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I
Teorema
a. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral de f em I, em que C é uma constante arbitrária
(F(x)+C)’ = F’ (x)+(C)’= f(x) + 0 = f(x)
Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C
∫f(x)dx = F(x)+C ↔ F ’(x) (C)’= f(x)+0=f(x)
ii)∫ f(x)+g(x) dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
∫ f(x)+g(x) dx = [F(x) + G(x)] + C
=[F(x) + G(x)] + C1 + C2 onde C = C1 + C2
=[F(x) + C1] + [G(x) + C2]
=∫f(x) dx + ∫ g(x) dx
i)∫ k.f(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ k.f(x) = k.F(x)+k.C =k [F(x)+C] =k ∫ f(x) dx
Considerando f(x) e F(x) duas funções tais que F’ (x) = f(x). Supondo que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então pela regra da Cadeia temos que
[F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)
Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x)
∫ f(g(x)).g ’(x) dx = F(g(x)) + C
Fazendo u = g(x), du = g ’(x) dx e substituindo, obtemos que
∫ f(g(x)).g’ (x) dx =∫ f(u) du = F(u)+C
d/dx [f(x).g(x)] = f(x).g ’(x)+g(x).f ’(x)
f(x).g ’(x) = d/dx [f(x).g(x)]-g(x).f ’(x)
Ao integrarmos ambos os lados, obtemos que
∫f(x).g’(x)dx=∫ [f(x).g(x)]’dx-∫g(x).f’(x) dx
∫ f(x).g ’(x) dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f ’(x) dx
Fazendo u = f(x), du = f ’(x) dx e v = g(x), dv = g ’(x) dx, então, a expressão anterior pode ser reescrita como
∫ u dv = u.v - ∫ v du
Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração
Soma de Riemann
Sn=f(c1).∆x1+f(c2).∆x2 + ... + f(cn).∆xn= ∑ni=1 f(ci).∆xi
Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a,b]. A área sob a curva y= f(x), de a até b, é definida por
Em que para cada i = 1,…,n, ci é um ponto arbitrário pertencente aos n subintervalos de [a,b].
Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫a b f(x) dx é dada por
Teorema do valor médio
Se f é uma função contínua em [a,b], então existe um ponto c entre a e b tal que ∫a b f(x) dx = (b-a).f(c).
F(x) é uma função derivável em todos os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si, ou seja
Parte 1: se f é contínua em [a,b], então F(x) = ∫a x f(t) dt é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é f(x):
Usualmente, a diferença F(b)-F(a) é denotada por
Parte 2:se f é contínua em [a,b] e se F é qualquer
primitiva de f em [a,b], então:
Quando calculamos uma integral definida, a constante poderá ser descartada sem problemas
Regra da substituição para integrais definidas
Se g’ for uma função contínua em [a,b] e f for uma função contínua na imagem de u = g(x), então =
INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS
A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo de integrais de funções simétricas
Se f é uma função par, então =
Se f é uma função ímpar, então 
Integrais de potências de seno e cosseno
Fórmulas de redução ou recorrência
= 
+ 
= 
+ 
Integrais de produtos de seno e cosseno
podemos recorrer ao Quadro 9.1
Integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos
diferentes
= 
+ 
= 
- 
= 
+ 
Integração de potências de tangente e de secante
= 
- 
= 
+ 
∫ tg x dx = ln|sec x|+C
∫ sec x dx = ln|sec x + tg x|+C
Integração de produtos de tangente e de secante
Quadro 9.2: Procedimentos para o cálculo de ∫ tgm x secnx dx
Tabela 10.1
Triângulos de referência para substituições trigonométricas que transformam binômios em quadrados de um único termo
Proposição: Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ ... + 
Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos
Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração
, 
, 
Integrais impróprias com descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração
, 
Integrais sobre intervalos infinitos
, 
Se f(x) é contínua em [a,∞) 
= 
Se g(x) é contínua em (-∞, b] 
= 
Se h(x) é contínua em (-∞,∞)
= 
+ 
quando os limites existem, a integral imprópria é convergente e que o limite é o próprio valor da integral, por outro lado, quando esses limites não existem, no caso em que 
dizemos que a integral imprópria é divergente.
Definição. Supondo que f e g sejam funções contínuas com f(x)≥g(x)≥0 para x≥a.
Se 
f(x) dx é convergente, então g(x) dx é convergente.
Se g(x) dx é divergente, então f(x) dx é divergente.
A definição acima é válida tanto para integrais sobre intervalos infinitos como para integrais cujos integrandos têm descontinuidades infinitas.
Integrais cujos integrandos têm descontinuidades infinitas
Descontínua em a 
Descontínua em b 
Se h(x) é contínua em c, onde a<c<b, e contínua em [a,c) (c, b] então 
Área entre curvas
Volume
sólido de revolução é uma figura sólida obtida a partir da rotação
de uma curva plana qualquer em torno de alguma linha reta que situa-se no mesmo plano.
Sólidos de revolução: método do disco
área da seção transversal é dada por: 
volume é dado por: 
Sólidos de revolução: método do anel
área é dada pela diferença do raio externo (R) e do raio interno (r), ou seja 
o volume do sólido será dado por: 
Área de uma superfície de revolução
= 
Se a função f(x)≥0 é continuamente derivável em [a,b].
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA Y=F(X) E TRABALHO
Comprimento de uma curva plana y=f(x)
Para o cálculo do comprimento de uma curva cujo gráfico da função y = f(x) vai de x = a
até x = b, utilizamos a seguinte expressão: 
= 
trabalho
W=F.d
Supondo que um objeto se move no sentido positivo ao longo de um eixo coordenado
pelo intervalo [a,b]quando sujeito a uma força variável F(x), o trabalho será definido como:
SISTEMAS DE COORDENADAS
ESPECIAIS
R² coordenadas polares
x = r.cosθ
y = r.senθ
x²+y²=r²
COORDENADAS CILÍNDRICAS
x=r.cosθ
y=r.senθ
z=z
x²+y²=r²
coordenadas esféricas
x=ρ.sen φ cos θ
y=ρ.sen φ sen θ
z=ρ .cos φ
x²+y²+z²=ρ²