Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - Coggle Diagram
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PRIMITIVAS
Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I
Teorema
a. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral de f em I, em que C é uma constante arbitrária
(F(x)+C)’ = F’ (x)+(C)’= f(x) + 0 = f(x)
INTEGRAL INDEFINIDA
Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C
∫f(x)dx = F(x)+C ↔ F ’(x) (C)’= f(x)+0=f(x)
ii)∫ f(x)+g(x) dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
∫ f(x)+g(x) dx = [F(x) + G(x)] + C
=[F(x) + G(x)] + C1 + C2 onde C = C1 + C2
=[F(x) + C1] + [G(x) + C2]
=∫f(x) dx + ∫ g(x) dx
i)∫ k.f(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ k.f(x) = k.F(x)+k.C =k [F(x)+C] =k ∫ f(x) dx
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Considerando f(x) e F(x) duas funções tais que F’ (x) = f(x). Supondo que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então pela regra da Cadeia temos que
[F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)
Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x)
∫ f(g(x)).g ’(x) dx = F(g(x)) + C
Fazendo u = g(x), du = g ’(x) dx e substituindo, obtemos que
∫ f(g(x)).g’ (x) dx =∫ f(u) du = F(u)+C
INTEGRAÇÃO POR PARTES
d/dx [f(x).g(x)] = f(x).g ’(x)+g(x).f ’(x)
f(x).g ’(x) = d/dx [f(x).g(x)]-g(x).f ’(x)
Ao integrarmos ambos os lados, obtemos que
∫f(x).g’(x)dx=∫ [f(x).g(x)]’dx-∫g(x).f’(x) dx
∫ f(x).g ’(x) dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f ’(x) dx
Fazendo u = f(x), du = f ’(x) dx e v = g(x), dv = g ’(x) dx, então, a expressão anterior pode ser reescrita como
∫ u dv = u.v - ∫ v du
APROXIMANDO ÁREAS
Soma de Riemann
Sn=f(c1).∆x1+f(c2).∆x2 + ... + f(cn).∆xn= ∑ni=1 f(ci).∆xi
Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a,b]. A área sob a curva y= f(x), de a até b, é definida por
Em que para cada i = 1,…,n, ci é um ponto arbitrário pertencente aos n subintervalos de [a,b].
INTEGRAL DEFINIDA
Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫a b f(x) dx é dada por
Teorema do valor médio
Se f é uma função contínua em [a,b], então existe um ponto c entre a e b tal que ∫a b f(x) dx = (b-a).f(c).
O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
F(x) é uma função derivável em todos os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si, ou seja
Parte 1: se f é contínua em [a,b], então F(x) = ∫a x f(t) dt é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é f(x):
Usualmente, a diferença F(b)-F(a) é denotada por
Parte 2:se f é contínua em [a,b] e se F é qualquer
primitiva de f em [a,b], então:
Quando calculamos uma integral definida, a constante poderá ser descartada sem problemas
INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO
Regra da substituição para integrais definidas
Se g’ for uma função contínua em [a,b] e f for uma função contínua na imagem de u = g(x), então
=
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Integrais de potências de seno e cosseno
Fórmulas de redução ou recorrência
=
+
=
+
Integrais de produtos de seno e cosseno
podemos recorrer ao Quadro 9.1
Integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos
diferentes
=
+
=
-
=
+
Integração de potências de tangente e de secante
=
-
=
+
∫ tg x dx = ln|sec x|+C
∫ sec x dx = ln|sec x + tg x|+C
Integração de produtos de tangente e de secante
Quadro 9.2: Procedimentos para o cálculo de ∫ tgm x secnx dx
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Tabela 10.1
Triângulos de referência para substituições trigonométricas que transformam binômios em quadrados de um único termo
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
Proposição: Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
+
+
+
+
+
+ ... +
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos
,
Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração
,
Integrais impróprias com descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração
,
Integrais sobre intervalos infinitos
,
Se f(x) é contínua em [a,∞)
=
Se g(x) é contínua em (-∞, b]
=
Se h(x) é contínua em (-∞,∞)
=
+
quando os limites existem, a integral imprópria é convergente e que o limite é o próprio valor da integral, por outro lado, quando esses limites não existem, no caso em que
dizemos que a integral imprópria é divergente.
Definição. Supondo que f e g sejam funções contínuas com f(x)≥g(x)≥0 para x≥a.
Se
f(x) dx é convergente, então
g(x) dx é convergente.
Se
g(x) dx é divergente, então
f(x) dx é divergente.
A definição acima é válida tanto para integrais sobre intervalos infinitos como para integrais cujos integrandos têm descontinuidades infinitas.
Integrais cujos integrandos têm descontinuidades infinitas
Descontínua em a
Descontínua em b
Se h(x) é contínua em c, onde a<c<b, e contínua em [a,c) (c, b] então
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME
Área entre curvas
Volume
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
sólido de revolução é uma figura sólida obtida a partir da rotação
de uma curva plana qualquer em torno de alguma linha reta que situa-se no mesmo plano.
Sólidos de revolução: método do disco
área da seção transversal é dada por:
volume é dado por:
Sólidos de revolução: método do anel
área é dada pela diferença do raio externo (R) e do raio interno (r), ou seja
o volume do sólido será dado por:
Área de uma superfície de revolução
=
Se a função f(x)≥0 é continuamente derivável em [a,b].
Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração
INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS
A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo de integrais de funções simétricas
Se f é uma função par, então
=
Se f é uma função ímpar, então
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA Y=F(X) E TRABALHO
Comprimento de uma curva plana y=f(x)
Para o cálculo do comprimento de uma curva cujo gráfico da função y = f(x) vai de x = a
até x = b, utilizamos a seguinte expressão:
=
trabalho
W=F.d
Supondo que um objeto se move no sentido positivo ao longo de um eixo coordenado
pelo intervalo [a,b]quando sujeito a uma força variável F(x), o trabalho será definido como:
SISTEMAS DE COORDENADAS
ESPECIAIS
R² coordenadas polares
x = r.cosθ
y = r.senθ
x²+y²=r²
COORDENADAS CILÍNDRICAS
x=r.cosθ
y=r.senθ
z=z
x²+y²=r²
coordenadas esféricas
x=ρ.sen φ cos θ
y=ρ.sen φ sen θ
z=ρ .cos φ
x²+y²+z²=ρ²
