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Álgebra Linear e Geometria Analítica - Coggle Diagram
Álgebra Linear e
Geometria Analítica
VETORES
Grandeza escalar
É quando temos apenas um número e sua unidade de medida
Grandeza vetorial
Quando temos número escalar, indicamos uma força ou velocidade, precisamos indicar a direção e o sentido do vetor
Definição de segmentos
Segmento orientado
Atenção quanto à sequência do par ordenado
Segmento nulo
quando o ponto de origem e extremidade são os mesmo.
Comprimento de um segmento
Devemos dizer que o segmento OP tem o comprimento
Equipolentes
Reflexivos
Transitivos
e
Simétricos
e
Definição de vetores
módulo (norma ou comprimento), direção e sentido
O módulo de um vetor
a sua representação
Vetor nulo
:
Vetores iguais
:
Vetores opostos
:
por
ou
Vetor unitário
:
Versor
: um vetor unitário com a mesma direção e sentido de outro vetor
Vetores colineares
: mesma direção
Vetores coplanares
: mesmo plano
ESPAÇOS VETORIAIS
R¹: reta numérica
R²: plano euclidiano
R³: espaço euclidiano tridimensional
Axiomas
Comutatividade
Associatividade
Vetor nulo
Inverso aditivo ou simétrico
Distributividade
Regra do paralelogramo
COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL
Sistema cartesiano ortogonal
composto de 2 eixos perpendiculares entre si
ordenadas (y)
abscissas (x)
Sistema cartesiano oblíquo
quando não tem um ângulo de 90 graus entre os eixos
Pares ordenados
Distância entre dois pontos
Método de Pitágoras
Coordenadas polares
COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
O sistema cartesiano tridimensional é compostos por 3 eixos principais:
Ordenadas (y)
Abscissas (x)
Cota (z)
Espaço tridimensional é composto por 3 planos xy,yz e xz, plano cartesiano
Triplas ordenadas
Distância entre dois pontos
Coordenadas polares
coordenadas cilíndricas
coordenadas esféricas
SISTEMAS LINEARES - MATRIZES
matriz quadrada
matriz retangular
MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Eliminação de Gauss
3 etapas
Método da substituição
Isolar uma variável e substituir nas demais equações
Método da comparação
Utilizado em sistemas lineares de apenas 2 equações, isola-se a mesma variável nas 2 equações, e ao comparar as 2, encontra-se a outra variável
MATRIZES: FORMA ESCADA
Escada reduzidas por linhas
4 critérios
Transformar uma matriz em forma escada reduzida por linha
5 etapas
MATRIZ INVERSA E DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
Matriz quadrada associar matriz inversa
Quando não tem matriz inversa é denominada matriz singular ou não invertível
São 3 etapas para obter uma matriz inversa
Determinante
Toda matriz quadrada tem seu determinante
Para uma matriz 2x2
Para matrizes de 3x3 utilizar a Regra de Sarrus
Tem 5 propriedades dos determinantes
EXPANSÃO DE COFATORES
É utilizada na formula de laplace
FÓRMULA DE LAPLACE
REGRA DE CRAMER
Para resolver sistema lineares através de determinantes
Temos 4 passos
SUBESPAÇO DE UM ESPAÇO VETORIAL
4 Se
Todo subespaço precisa ter um vetor nulo e é dividido em 2 subespaços triviais
COMBINAÇÃO LINEAR
É possível encontrar outro vetor a partir de escalares
É muito importante para Álgebra linear
Combinação não linear
Determinante de uma matriz será nulo
independência linear
, em V é um espaço vetorial, o conjunto S será linearmente independente (L.I) se:
Uma única solução para que a soma dos vetores do conjunto resultem zero
Dependência linear
Quando é solução trivial o conjunto S será linearmente dependente (L.D)
Se no conjunto S um dos vetores for uma combinação linear de outros vetores, ele será L.D
Mais de uma solução para que a soma dos vetores do conjunto resultem em zero
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
É um conjunto de vetores que gera um subespaço vetorial
Bases canônicas
Para que um conjunto de vetores seja definido como base de um espaço vetorial precisa respeitar 2 critérios:
ser L.I. e gerar um espaço vetorial
Dimensão de um espaço vetorial
número de vetores que está contido em uma base de um espaço vetorial (dim V)
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
É quando transformamos um espaço vetorial em outro, podendo alterar a dimensão do espaço vetorial ou não
existem 2 requisitos para isso
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Todo autovetor precisa de um autovalor
o conceito está associado
De uma matriz
podemos deixar em função do determinante
SPD ou SPI
PRODUTOS ENTRE VETORES
Produto escalar é quando multiplicamos um vetor por outro
Modulo de um vetor
Versor de um vetor
Distância entre 2 pontos
Ângulo de 2 vetores
Cosseno diretores
Produto vetorial
regra da mão esquerda
Calcular o determinante da matriz
EQUAÇÃO DA RETA
Equação vetorial
Equação paramétrica
Equação simétrica
=
=
Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados: isso quer dizer que uma das coordenadas do espaço vetorial tridimensional será nula
Ângulo de 2 retas
EQUAÇÃO DO PLANO
É possível encontrar qualquer vetor em um plano através dessa equação
substituindo a subtração da equação
por um constante D
Equação paramétrica
