CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PRIMITIVAS
Seja uma função f definida num intervalo real, uma função F é primitiva (ou antiderivada) em f se F’(x) = f(x) para todo x ∈ I.
As primitivas serão sempre definidas em algum intervalo
Primeira proposição: seja F(x) a primitiva de uma função f(x) e C uma constante, G(x)=F(x)+C também é primitiva de f(x)
Segunda proposição: Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.
Terceira proposição: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante
C tal que G(x)-F(x)=C para todo x∈I.
INTEGRAL INDEFINIDA
O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de se calcular a área de uma região curva não simétrica.
A Integral Definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região, de um dado intervalo.
Já a Integral Indefinida é interpretada como a representação representa toda uma família de funções que são diferenciadas por uma constante C.
Enquanto a integral definida é tomada por um número, a integral indefinida é uma função.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTUIÇÃO
Determina-se a integral de uma dada função após ser feita uma mudança de variável. O processo acaba sendo o inverso da Regra da Cadeia da derivação.
1º Passo: Em ∫ f(g(x)).g ’(x) dx substitua u = g(x) e du = g ’(x) dx para obter a integral ∫ f(u) du
2º Passo: Integre em relação a u
3º Passo: Substitua u por g(x) no resultado
Esse método é utilizado quando a integração de uma função não é tão óbvia, ou tão fácil. Logo, utiliza-se esse método para 'transformar' a integral desconhecida numa função básica e fácil de calcular.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.
INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região. Além disso, ela é um valor em seu resultado, ou seja, não depende da variável x, podendo esta ser trocada por qualquer outra variável sem a alteração do valor da integral.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Isaac Barrow descobriu que tangente (derivada) e o problema da área (integral) estão relacionados.
Ele fornece um método muito poderoso para calcular integrais sem recorrer a definição como limite de um somatório ( limites
das somas de Riemann)
Se uma função g(x) é definida como integral da função f(x), que é uma função contínua, então da derivada de g(x) será a função f(x).
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Integrais impróprias são integrais definidas que cobrem uma área ilimitada. Um tipo de integral imprópria é aquela em que ao menos uma extremidade é estendida até o infinito
Tipos: Integrais sobre intervalos infinitos; Integrais cujos integrandos têm descontinuidades infinitas.