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代数系统 - Coggle Diagram
代数系统
群
群的性质
设<G;∗>是一个群,则对任意的a,b∈G, (1)存在唯一的元素x∈G,使a∗x=b (2) 存在唯一的元素y∈G,使y∗a=b
设<G;∗>是一个群,则对任意的a,b,c∈G (1)若a∗b=a∗c,则b=c(2)若b∗a=c∗a,则b=c
设<G;∗>是一个群,则对任意a,b∈G,有(a∗b)^-1=b^-1∗a^-1
群<G;∗>中的元素a若具有有限周期r,则当且仅当k是r的整数倍时,a^k=e
群中任一元素与它的逆元具有相同的周期
在有限群<G;∗>中。每个元素均具有有限周期,且周期不超过群<G;∗>的阶
半群和独异点
子独异点
设<S;∗>是一独异点,若<T;∗>是<S;∗>的子代数,且单位元e∈T,则称<T;∗>是<S;∗>的子独异点
循环独异点
在独异点<S;∗;e>中,如果∃g∈S,∀a∈S,都可以表示成g^i(i≥0)的形式,则称此独异点为由g生成的循环独异点,称g为生成元
子半群
设<S;∗>是一个半群,若<T;∗>是<S;∗>的子代数,则称<T;∗>是<S;∗>的子半群
可交换的独异点
若半群<S;∗;e>中的运算∗是可交换的,则称独异点<S;∗;e>是可交换的独异点
独异点
若半群<S;∗>中运算∗有单位元e,则称<S;∗>为独异点,记作<S;∗;e>
半群
设S是一个非空集合,∗是S上的一个二元运算,如果∗是可结合的,则称代数系统<S;∗>是半群。
群的定义
定义
设<G;∗>是一个代数系统,如果运算∗是可结合的,存在单位元e,且G中任何元素a都有逆元a^-1,则称<G;∗>是一个群。如果运算是可交换的,又称该群为Abel群
循环群
在群<G;∗>中,如果存在一元素g∈G,使得每一元素a∈G都能表示成g^i
(i∈I)的形式,则称群<G;∗>为循环群,称g为该循环群的生成元,并称群<G;∗>由g生成
群的阶
设<G;∗>是一个群,如果G是有限集,则称<G;∗>是有限群,G中元素的个数称为群<G;∗>的阶;若G是无限集,则称<G;∗>是无限群
元素的周期
射<G;∗>是一个群,a∈G,若存在正整数r,使得a^r=e,则称元素a具有有限周期。使a^r=e成立的最小正整数r称为a的周期。如果对于任何正整数r,均有a^r≠e,则称a的周期为无限
子群
定义
设<G;∗>是一个群,若<H;∗>是<G;∗>的子代数,单位元e∈H,且对于任意的a∈H,有a^-1∈H,则称<H;∗>是<G;∗>的子群
子群的判别
设<G;∗>是群,H是G的非空子集,若(1)对于任意的a,b∈H,有a∗b∈H(封闭性)(2)对任意的a∈H,有a^-1∈H(可逆性)则<H;∗>是<G;∗>的子群
格和布尔代数
格及其性质
定义
设<L;≤>是一个偏序集,如果L中任意两个元素都存在着最大下界和最小上界,则称<L;≤<是格
对偶
设<L;≤>是格,P是包含格的元素和符号=、≤、≥、∧、∨的命题,将P中的≤、≥、∧和∨分别替换成≥、≤、∨和∧所得的命题P^D称为P的对偶
性质
交换律
结合律
吸收律
等幂律
分配格和有补格
分配格
设<L;∨,∧>是一个格,若对于任意的l1,l2,l3属于L,有l1∧(l2∨l3)=(l1∧l2)∨(l1∧l3); l1∨(l2∧l3)=(l1∨l2)∧(l1∨l3) z,则称<L;∨,∧>是分配格
有补格
设<L;∨,∧>是一个有界格,如果L中的每一个元素都有补元素,则称<L;∨,∧>是有补格
偏序集
定义
集合L和定义在L上的偏序关系"≤”一起称为偏序集,用<L;≤>表示
最大下界
设I1和I2是偏序集<l;≤>的两个元素,元素a∈L,如果满足a≤I1,a≤I2,则称a是I1和I2的下界。如果元素a是I1和I2的下界。且对于任意a’∈L,若a’也是I1和I2的下界,便有a’≤a,则称a是I1和I2的最大下界,简记作a=glb(I1,I2)
最小上界
设I1和I2是偏序集<l;≤>的两个元素,元素b∈L,如果满足I1≤b,I2≤b,则称b是I1和I2的上界。如果元素b是I1和I2的上界。且对于任意b’∈L,若b’也是I1和I2的上界,便有b≤b',则称b是I1和I2的最小上界,简记作b=lub(I1,I2)
最小元素和最大元素
设<L;≤>是一偏序集
如果存在元素a∈L,使得对于所以的元素l∈L,有a≤l,则称a是<L;≤>的最小元素
如果存在元素b∈L,使得对于所以的元素l∈L,有l≤b,则称b是<L;≤>的最大元素
布尔代数
如果一个格是有补分配格,则称其为布尔代数,一般记作<B;∨,∧,->
代数系统
代数系统
子代数
设<S;∘1,∘2,∘3>是一个代数系统,其中运算∘i(i=1,2,3)均是一元或二元运算,H是S的一个非空子集,如果S上的这三个运算在H上也都是封闭的,则称<H;∘1,∘2,∘3>是<S;∘1,∘2,∘3>的子代数或子系统。
整环
设J是一非空集合,+和·是J上的二元运算,如果
+和·满足下述性质:
(1)交换律
(2)结合律
(3)·对+可分配
(4)存在单位元
(5)关于+运算存在逆元
(6)消去律
则称抽象代数系统<J;+,·>为整环
定义
一个非空集合S和定义在该集合上的一个或
多个运算∘1,∘2,…,∘n所组成的系统称为代数系统。用记号<S;∘1,∘2,…,∘n>表示,其中S称为该代数系统的域。
同态和同构
同态
设V1=<S1;∗1,∘1,~1>和V2=<S2;∗2,∘2,~2>是两个代数系统,h是从S1到S2的一个函数,若对于任意的x,y∈S1,有h(x∗1y)=h(x)∗2h(y),h(x∘1y)=h(x)∘2h(y),对任意x∈S1,有h(~1(x))=~2(h(x)),则称h是从代数系统V1到V2的一个同态。
由特殊含义定义的特殊的同态
设h:S1→S2是从代数系统V1=<S1;∗1,∘1,~1>到V2=<S2;∗2,∘2,~2>的同态
如果h是内射,则称h是从V1到V2的单一同态
如果h是满射,则称h是从V1到V2的满同态
如果h是双射,则称h是从V1到V2的同构
同构
设h是从代数系统V1=<S1;∗1,∘1,~1>到V2=<S2;∗2,∘2,~2>的同态,若h是双射函数,则h是从V1到V2的同构。
运算
运算
单位元
设∗是集合A上的二元运算,若存在一元素el∈A,使得对于任意的a∈A,有el∗a=a,则称el是A中运算∗的左单位元;若存在一元素er∈A,使得对于任意的a∈A,有a∗er=a,则称er是A中运算∗的右单位元;若存在一元素e∈A,使得对于任意的a∈A,有e∗a=a,则称e是A中运算∗的单位元。
设∗是集合A上的二元运算,el和er分别是∗的左单位元和右单位元,则el=er=e,且e是∗的唯一的单位元。
逆元
设∗是集合A上具有单位元e的二元运算,对于元素a∈A,若存在al^-1∈A,使得al^-1∗a=e,则称a关于∗是左可逆的,称al^-1是a的左逆元;若存在ar^-1∈A,使得a∗ar^-1=e,则称a关于∗是右可逆的,称ar^-1是a的右逆元;若存在一元素a^-1∈A,使得a^-1∗a=a∗a^-1=e,则称a关于∗是可逆的,称a^-1是a的逆元。
设∗是集合A上具有单位元e且可结合的二元运算,若元素a∈A有左逆元al^-1和右逆元ar^-1,则al^-1=ar^-1=a^-1,且a^-1是a唯一的逆元
二元运算常见的性质
设A是非空集合,∗和∘是A上的二元运算
若对于任意的𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 都有: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
则称∗在𝐴上是可交换的
若对于任意的𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴,都有 (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐),则称∗在𝐴上是可结合的
若对于任意的𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴,有𝑎∘(𝑏∗𝑐) = (𝑎∘𝑏)∗(𝑎∘𝑐) (𝑏∗𝑐)∘𝑎= (𝑏∘𝑎)∗(𝑐∘𝑎)则称运算∘对运算∗是可分配的
定理
设∗是集合A上的二元运算,且#A>1。若运算∗有单位元素e和零元z,则e≠z
运算的封闭性
设∗是集合A上的一个二元运算,S⊆A,若对于每一个序偶(ai,aj)∈S²,都有∗(ai,aj)∈S,则称运算∗在S上是封闭的。
由运算表判别运算律的方法
交换律
运算表关于主对角线对称
幂等律
主对角线元素排列与表头顺序一致
单位元
所在的行与列的元素排列都与表头一致
零元
元素的行与列都由该元素自身构成
A的可逆元
a所在的行中某列(比如第j列)元素为e,且第j行i列的元素也是e,那么a与第j个元素互逆
结合律
除了单位元、零元之外,要对所有3个元
素的组合验证表示结合律的等式是否成立
定义
设有非空集合A,函数f:A^n→A称为A上的一
个n元运算。n称为运算的阶。特别地,函数f:A²→A称为A上的二元运算,f:A→A称为A上的一元运算。
零元
设∗是集合A上的二元运算,zl和zr分别是∗的左零元和右零元,则zl=zr=z,且z是∗唯一的零元。
设∗是集合A上的二元运算,若存在一元素zl∈A,使得对于任意的a∈A,都有zl∗a=zl,则称zl是A中运算∗的左零元;若存在一元素zr∈A,使得对于任意的a∈A,都有a∗zr=zr,则称zr是A中运算∗的右零元;若存在一元素z∈A,使得对于任意的a∈A,z∗a=a∗z=z,则称z是A中运算∗的零元。
幂等元
设∗是集合A上的二元运算,若存在a∈A且a∗a=a,则称a是A中关于运算∗的幂等元