代数系统

群

代数系统

格和布尔代数

运算

运算

单位元

逆元

二元运算常见的性质

定理

运算的封闭性

由运算表判别运算律的方法

定义

设有非空集合A，函数f:A^n→A称为A上的一
个n元运算。n称为运算的阶。特别地，函数f:A²→A称为A上的二元运算，f:A→A称为A上的一元运算。

设∗是集合A上的一个二元运算，S⊆A，若对于每一个序偶(ai,aj)∈S²，都有∗(ai,aj)∈S，则称运算∗在S上是封闭的。

设Ａ是非空集合，∗和∘是A上的二元运算

若对于任意的𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 都有: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
则称∗在𝐴上是可交换的

若对于任意的𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴,都有 (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)，则称∗在𝐴上是可结合的

若对于任意的𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴，有𝑎∘(𝑏∗𝑐) = (𝑎∘𝑏)∗(𝑎∘𝑐) (𝑏∗𝑐)∘𝑎= (𝑏∘𝑎)∗(𝑐∘𝑎)则称运算∘对运算∗是可分配的

设∗是集合A上的二元运算，若存在一元素el∈A，使得对于任意的a∈A，有el∗a=a，则称el是A中运算∗的左单位元；若存在一元素er∈A，使得对于任意的a∈A，有a∗er=a，则称er是A中运算∗的右单位元；若存在一元素e∈A，使得对于任意的a∈A，有e∗a=a，则称e是A中运算∗的单位元。

设∗是集合A上的二元运算，el和er分别是∗的左单位元和右单位元，则el=er=e，且e是∗的唯一的单位元。

零元

设∗是集合A上的二元运算，zl和zr分别是∗的左零元和右零元，则zl=zr=z，且z是∗唯一的零元。

幂等元

设∗是集合A上具有单位元e的二元运算，对于元素a∈A，若存在al^-1∈A，使得al^-1∗a=e，则称a关于∗是左可逆的，称al^-1是a的左逆元；若存在ar^-1∈A，使得a∗ar^-1=e，则称a关于∗是右可逆的，称ar^-1是a的右逆元；若存在一元素a^-1∈A，使得a^-1∗a=a∗a^-1=e，则称a关于∗是可逆的，称a^-1是a的逆元。

设∗是集合A上具有单位元e且可结合的二元运算，若元素a∈A有左逆元al^-1和右逆元ar^-1，则al^-1=ar^-1=a^-1，且a^-1是a唯一的逆元

设∗是集合A上的二元运算，且#A>1。若运算∗有单位元素e和零元z，则e≠z

交换律

运算表关于主对角线对称

幂等律

单位元

零元

A的可逆元

结合律

主对角线元素排列与表头顺序一致

所在的行与列的元素排列都与表头一致

元素的行与列都由该元素自身构成

a所在的行中某列（比如第j列）元素为e，且第j行i列的元素也是e，那么a与第j个元素互逆

除了单位元、零元之外，要对所有3个元
素的组合验证表示结合律的等式是否成立

设∗是集合A上的二元运算，若存在a∈A且a∗a=a，则称a是A中关于运算∗的幂等元

设∗是集合A上的二元运算，若存在一元素zl∈A，使得对于任意的a∈A，都有zl∗a=zl，则称zl是A中运算∗的左零元；若存在一元素zr∈A，使得对于任意的a∈A，都有a∗zr=zr，则称zr是A中运算∗的右零元；若存在一元素z∈A，使得对于任意的a∈A，z∗a=a∗z=z，则称z是A中运算∗的零元。

代数系统

同态和同构

子代数

整环

定义

一个非空集合S和定义在该集合上的一个或
多个运算∘1,∘2,…,∘n所组成的系统称为代数系统。用记号<S;∘1,∘2,…,∘n>表示，其中S称为该代数系统的域。

设J是一非空集合，+和·是J上的二元运算，如果
+和·满足下述性质：
（1）交换律
（2）结合律
（3）·对+可分配
（4）存在单位元
（5）关于+运算存在逆元
（6）消去律
则称抽象代数系统<J;+,·>为整环

设<S;∘1,∘2,∘3>是一个代数系统，其中运算∘i(i=1,2,3)均是一元或二元运算，H是S的一个非空子集，如果S上的这三个运算在H上也都是封闭的，则称<H;∘1,∘2,∘3>是<S;∘1,∘2,∘3>的子代数或子系统。

同态

由特殊含义定义的特殊的同态

同构

设V1=<S1;∗1,∘1,~1>和V2=<S2;∗2,∘2,~2>是两个代数系统，h是从S1到S2的一个函数，若对于任意的x,y∈S1，有h(x∗1y)=h(x)∗2h(y)，h(x∘1y)=h(x)∘2h(y)，对任意x∈S1，有h(~1(x))=~2(h(x))，则称h是从代数系统V1到V2的一个同态。

设h:S1→S2是从代数系统V1=<S1;∗1,∘1,~1>到V2=<S2;∗2,∘2,~2>的同态

如果h是内射，则称h是从V1到V2的单一同态

如果h是满射，则称h是从V1到V2的满同态

如果h是双射，则称h是从V1到V2的同构

设h是从代数系统V1=<S1;∗1,∘1,~1>到V2=<S2;∗2,∘2,~2>的同态，若h是双射函数，则h是从V1到V2的同构。

群的定义

群的性质

半群和独异点

子群

格及其性质

分配格和有补格

偏序集

布尔代数

子独异点

循环独异点

子半群

可交换的独异点

独异点

半群

设S是一个非空集合，∗是S上的一个二元运算，如果∗是可结合的，则称代数系统<S;∗>是半群。

若半群<S;∗>中运算∗有单位元e，则称<S;∗>为独异点，记作<S;∗;e>

若半群<S;∗;e>中的运算∗是可交换的，则称独异点<S;∗;e>是可交换的独异点

设<S;∗>是一个半群，若<T;∗>是<S;∗>的子代数，则称<T;∗>是<S;∗>的子半群

设<S;∗>是一独异点，若<T;∗>是<S;∗>的子代数，且单位元e∈T，则称<T;∗>是<S;∗>的子独异点

在独异点<S;∗;e>中，如果∃g∈S，∀a∈S，都可以表示成g^i(i≥0)的形式，则称此独异点为由g生成的循环独异点，称g为生成元

定义

循环群

群的阶

元素的周期

设<G;∗>是一个代数系统，如果运算∗是可结合的，存在单位元e，且G中任何元素a都有逆元a^-1，则称<G;∗>是一个群。如果运算是可交换的，又称该群为Abel群

在群<G;∗>中，如果存在一元素g∈G，使得每一元素a∈G都能表示成g^i
(i∈I)的形式，则称群<G;∗>为循环群，称g为该循环群的生成元，并称群<G;∗>由g生成

设<G;∗>是一个群，如果G是有限集，则称<G;∗>是有限群，G中元素的个数称为群<G;∗>的阶；若G是无限集，则称<G;∗>是无限群

射<G;∗>是一个群，a∈G，若存在正整数r，使得a^r=e，则称元素a具有有限周期。使a^r=e成立的最小正整数r称为a的周期。如果对于任何正整数r，均有a^r≠e，则称a的周期为无限

设<G;∗>是一个群，则对任意的a,b∈G， （1）存在唯一的元素x∈G，使a∗x=b （2） 存在唯一的元素y∈G，使y∗a=b

设<G;∗>是一个群，则对任意的a,b,c∈G (1)若a∗b=a∗c，则b=c（2）若b∗a=c∗a，则b=c

设<G;∗>是一个群，则对任意a,b∈G，有(a∗b)^-1=b^-1∗a^-1

群<G;∗>中的元素a若具有有限周期r，则当且仅当k是r的整数倍时，a^k=e

群中任一元素与它的逆元具有相同的周期

在有限群<G;∗>中。每个元素均具有有限周期，且周期不超过群<G;∗>的阶

定义

子群的判别

设<G;∗>是一个群，若<H;∗>是<G;∗>的子代数，单位元e∈H，且对于任意的a∈H，有a^-1∈H，则称<H;∗>是<G;∗>的子群

设<G;∗>是群，H是G的非空子集，若（1）对于任意的a,b∈H，有a∗b∈H（封闭性）（2）对任意的a∈H，有a^-1∈H（可逆性）则<H;∗>是<G;∗>的子群

定义

最大下界

最小上界

集合L和定义在L上的偏序关系"≤”一起称为偏序集，用<L;≤>表示

设I1和I2是偏序集<l;≤>的两个元素，元素a∈L，如果满足a≤I1，a≤I2，则称a是I1和I2的下界。如果元素a是I1和I2的下界。且对于任意a’∈L，若a’也是I1和I2的下界，便有a’≤a，则称a是I1和I2的最大下界，简记作a=glb(I1,I2)

设I1和I2是偏序集<l;≤>的两个元素，元素b∈L，如果满足I1≤b，I2≤b，则称b是I1和I2的上界。如果元素b是I1和I2的上界。且对于任意b’∈L，若b’也是I1和I2的上界，便有b≤b'，则称b是I1和I2的最小上界，简记作b=lub(I1,I2)

最小元素和最大元素

设<L;≤>是一偏序集

如果存在元素a∈L，使得对于所以的元素l∈L，有a≤l，则称a是<L;≤>的最小元素

如果存在元素b∈L，使得对于所以的元素l∈L，有l≤b，则称b是<L;≤>的最大元素

定义

对偶

性质

设<L;≤>是一个偏序集，如果L中任意两个元素都存在着最大下界和最小上界，则称<L;≤<是格

设<L;≤>是格，P是包含格的元素和符号=、≤、≥、∧、∨的命题，将P中的≤、≥、∧和∨分别替换成≥、≤、∨和∧所得的命题P^D称为P的对偶

交换律

结合律

吸收律

等幂律

分配格

设<L;∨,∧>是一个格，若对于任意的l1,l2,l3属于L，有l1∧(l2∨l3)=(l1∧l2)∨(l1∧l3)； l1∨(l2∧l3)=(l1∨l2)∧(l1∨l3) z，则称<L;∨,∧>是分配格

有补格

设<L;∨,∧>是一个有界格，如果L中的每一个元素都有补元素，则称<L;∨,∧>是有补格

如果一个格是有补分配格，则称其为布尔代数，一般记作<B;∨,∧,->