ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES
Uma grandeza vetorial é quando, além do número escalar, temos a direção e sentido.
Um vetor é composto por um segmento de reta orientado, ou seja, um par ordenado de pontos em um espaço vetorial.
Quando os segmentos orientados são paralelo, têm a mesma medida, direção e sentido, são segmentos equipolentes.
Classificação de vetores: nulos, iguais, opostos, unitários, versores, colineares e coplanares.
Espaços vetoriais: R¹ (reta númerica); R² (plano euclidiano); R³ (espaço euclidiano tridimensional)
Axiomas dos espaços vetoriais: comutatividade, associatividade, vetor nulo, inverso aditivo, distributividade.
COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPEÇO BIDIMENSIONAL
O sistema cartesiano é composto por duas retas perpendiculares entre si: eixo das ordenadas (y) e eixo das abscissas (x).
Um ponto no sistema cartesiano bidimensional pode ser representado como C (x,y).
Para traçar um vetor num espeço cartesiano é preciso de no mínimo um conjunto de dois pares ordenados, um representando a origem do vetor e o outro a extremidade.
Operações entre pares ordenados: adição, multiplicação e igualdade.
COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
Composto de três eixos principais: x (abscissa), y (ordenada), z (cota).
SISTEMA LINEARES: MATRIZES
São estruturas formadas por elementos numéricos. São constituídas por linhas e colunas. Linhas são as informações contidas no sentido horizontal em uma tabela, enquanto colunas são compostas pelos números no sentido vertical.
Se o número de colunas de uma matriz for igual ao número de linhas, a matriz é chamada de matriz quadrada. Se o número de colunas diferir do número de linhas, a matriz é chamada de matriz retangular.
O elemento de uma matriz é representado como xijaij, onde "aij" corresponde a constante que irá multiplicar a variável "xij". As notações "ij" correspondem à posição do elemento na matriz (linha / coluna).
MATRIZES: FORMA ESCADA
Para saber se uma matriz está nessa forma, ela deve atender os seguintes critérios: linhas nulas da matriz abaixo das não nulas; primeiro elemento não nulo de cada linha deve ser igual a 1; a cada linha descida, deve haver um elemento igual a 1, à direita do elemento da linha anterior (forma escada); se uma coluna contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, então todos os outro elementos dessa coluna devem ser iguais a zero.
Para transformar uma matriz na forma escada reduzida, deve-se seguir os passos: encontrar o elemento pivô na coluna pivô (primeiro elemento não nulo da primeira coluna); multiplicar a primeira linha pelo inverso do elemento pivô; zera-se todos os elementos da coluna pivô através de multiplicadores; encontra-se uma submatriz da matriz do passo anterior, retirando-se apenas a primeira linha; repete-se os passos até tornar a matriz original numa matriz escada reduzida.
MATRIZ INVERSA E DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
Toda matriz inversa deve ser quadrada.
Ao multiplicar a matriz original pela sua matriz inversa, tem-se como resultado a matriz identidade.
É possível encontrar o determinante de toda matriz quadrada.
Numa matriz do tipo 2x2, pode-se encontrar o determinante através da subtração do produto das duas diagonais.
Numa matriz 3x3, pode-se encontrar o determinante através da Regra de Sarrus.