Espacios con producto interno
Definición de producto interno y propiedades
Norma de un vector y propiedades, vectores unitarios. Distancia entre vectores. Ángulo entre vectores. Vectores ortogonales
Conjuntos ortogonales y ortonormales. Independencia lineal de un conjunto ortogonal . Coordenadas de un vector respecto a una base ortogonal y respecto a una base ortonormal. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Complemento ortogonal
Un producto interno en un espacio vectorial es una regla de composición externa aplicada a una pareja ordenada de vectores de ese espacio con el que se obtiene un único escalar del campo en el que está definido el espacio.
Propiedades
Simetría/ conmutatividad
Distributividad
Homogeneidad
Positividad
Norma de un vector
Vectores unitarios
Distancia entre vectores
Ángulo entre vectores
Vectores ortogonales
Conjunto ortogonal
Se cumple que el resultado del producto interno entre todos los elementos del conjunto da 0, excepto a aquellos que son iguales.
Conjunto ortonormal
Cumple el mismo axioma que el conjunto ortogonal, pero además cumple que sus vectores son unitarios.
Dependencia lineal de un conjunto ortogonal de vectores no nulos
Todo conjunto de vectores que se a ortogonal siempre es linealmente independiente
Coordenadas de un vector a una base ortogonal y respecto a una base ortonormal
Cada coordenada se obtiene por medio de la combinación lineal, se puede aplicar el operador lineal para quedarse con un solo vector y se obtiene la siguiente fórmula.
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Permite obtner una base ortogonal a partir de una base cualquiera
Con la base original se toma el primer vector y ese será el primer vector de la base original
Los demás vectores se calculan restando al vector de la base original el que le correponde las proyecciones con los vectores de la base nueva
Subespacio de un espacio vectorial V cuyos vectores son ortogonales al subespacio S
Se determina con el genérico del espacio completo, se obtiene una base del subespacio, se efectúa el producto interno del genérico del espacio igualado a 0 y se expresa el complemento ortogonal
Proyección de un vector sobre un subespacio
Para una base ortogonal
Para una base ortonormal
Teorema de proyección
El vector de un subespacio más cercano a un vector de un espacio es la proyección del vector del espacio sobre el vector del subespacio