Calculo diferencia e integral II

Primitivas

definição acima nos diz que as primitivas de uma função f(x) sempre estão definidas
em algum intervalo.

Por exemplo, considerando a função f(x)=x3. Se tivermos a regra da potência em mente,
então não será difícil descobrir uma primitiva de f, certo? Se F(x)= , então F’(x)=x3=f(x).

Exemplo 2

Exemplo 1.1: G(x)=√x é uma primitiva de g(x)= image , uma vez que G’ (x)= image = g(x).

Exemplo 1

Exemplo 1.2: H(x)=cos x é uma primitiva de h(x)=-sen x, uma vez que H’(x) = -sen x = h(x).

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Teorema

Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral
de f em I, em que C é uma constante arbitrária

Proposições:

Definições

Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante qualquer, significa

que a função G(x)=F(x)+C também é primitiva de f(x);

b) Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I;

c) Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante

C tal que G(x)-F(x)=C para todo x∈I.

INTEGRAL INDEFINIDA

Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral
indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.

Simbolo

Denominação

para identificar a variável de integração.

de integrando, a constante C é chamada de constante de integração, e o símbolo dx serve

O símbolo ∫ é denominado de sinal de integração, a função f a ser integrada é denominada

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

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Considerando f(x) e F(x) duas funções tais que F’ (x) = f(x). Supondo que g seja outra

função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então pela regra da

cadeia temos que:

[F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)

Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x).

INTEGRAÇÃO POR PARTES

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Considerando f(x) e g(x) funções que são deriváveis em um intervalo I, então, pela regra

do produto temos que:

image [f(x).g(x)] = f(x).g ’(x)+g(x).f ’(x)

Que é a fórmula da integração por partes que utilizaremos neste estudo.
Atente-se, caro(a) aluno(a), a algumas observações

1) É importante certo cuidado na escolha de u e dv, tal que ela seja feita de forma conveniente.
2) Deixamos para introduzir uma única constante de integração ao final dos cálculos.

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Anote Isso.

“Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a

regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação.

Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração

por partes” (STEWART, 2014, p. 420).

APROXIMANDO ÁREAS

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cálculo de áreas de algumas figuras geométricas,

como a de um retângulo (comprimento×largura) ou de um triângulo ((base×altura)/2). No

entanto, como poderíamos determinar a área que surge entre o gráfico de uma função f(x)=x2,

delimitada pelo eixo dos x e por duas retas x=0 e x=1?

Anote Isso.

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A letra grega maiúscula Σsignifica “soma”. O indice i nos diz onde começa a soma (no

número sob o Σ) e onde ela termina (no número acima do Σ). Quando o símbolo ∞

aparece acima do Σ, significa que os termos continuam indefinidamente.

Fonte: (THOMAS et al., 2012).

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INTEGRAL DEFINIDA

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Definição. Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer

de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫a

b f(x) dx é dada por: image