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Calculo diferencia e integral II - Coggle Diagram
Calculo diferencia e integral II
Primitivas
definição acima nos diz que as primitivas de uma função f(x) sempre estão definidas
em algum intervalo.
Por exemplo, considerando a função f(x)=x3. Se tivermos a regra da potência em mente,
então não será difícil descobrir uma primitiva de f, certo? Se F(x)= , então F’(x)=x3=f(x).
Exemplo 2
Exemplo 1.1: G(x)=√x é uma primitiva de g(x)=
, uma vez que G’ (x)=
= g(x).
Exemplo 1
Exemplo 1.2: H(x)=cos x é uma primitiva de h(x)=-sen x, uma vez que H’(x) = -sen x = h(x).
Teorema
Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral
de f em I, em que C é uma constante arbitrária
Proposições:
Definições
Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante qualquer, significa
que a função G(x)=F(x)+C também é primitiva de f(x);
b) Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I;
c) Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante
C tal que G(x)-F(x)=C para todo x∈I.
INTEGRAL INDEFINIDA
Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral
indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.
Simbolo
Denominação
para identificar a variável de integração.
de integrando, a constante C é chamada de constante de integração, e o símbolo dx serve
O símbolo ∫ é denominado de sinal de integração, a função f a ser integrada é denominada
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Considerando f(x) e F(x) duas funções tais que F’ (x) = f(x). Supondo que g seja outra
função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então pela regra da
cadeia temos que:
[F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)
Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x).
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Considerando f(x) e g(x) funções que são deriváveis em um intervalo I, então, pela regra
do produto temos que:
[f(x).g(x)] = f(x).g ’(x)+g(x).f ’(x)
Que é a fórmula da integração por partes que utilizaremos neste estudo.
Atente-se, caro(a) aluno(a), a algumas observações
1) É importante certo cuidado na escolha de u e dv, tal que ela seja feita de forma conveniente.
2) Deixamos para introduzir uma única constante de integração ao final dos cálculos.
Anote Isso.
“Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a
regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação.
Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração
por partes” (STEWART, 2014, p. 420).
APROXIMANDO ÁREAS
cálculo de áreas de algumas figuras geométricas,
como a de um retângulo (comprimento×largura) ou de um triângulo ((base×altura)/2). No
entanto, como poderíamos determinar a área que surge entre o gráfico de uma função f(x)=x2,
delimitada pelo eixo dos x e por duas retas x=0 e x=1?
Anote Isso.
A letra grega maiúscula Σsignifica “soma”. O indice i nos diz onde começa a soma (no
número sob o Σ) e onde ela termina (no número acima do Σ). Quando o símbolo ∞
aparece acima do Σ, significa que os termos continuam indefinidamente.
Fonte: (THOMAS et al., 2012).
INTEGRAL DEFINIDA
Definição. Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer
de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫a
b f(x) dx é dada por:
