Los números complejos son una generalización de los números reales que permiten resolver problemas matemáticos en los que aparecen raíces de números negativos. Se componen de dos partes: una parte real (𝑎
a) y una parte imaginaria (𝑏𝑖
bi), donde 𝑖i es la unidad imaginaria definida como 𝑖2=−1i 2=−1.
Se representan en la forma 𝑧=𝑎+𝑏𝑖z=a+bi,donde 𝑎a y 𝑏
b son números reales. La parte real indica el componente que pertenece al conjunto de los números reales, mientras que la parte imaginaria está asociada con 𝑖i.
Los números complejos son fundamentales en matemáticas y otras ciencias, ya que extienden la noción de números para incluir soluciones de ecuaciones polinómicas que no tienen raíces en los números reales, como 𝑥2+1=0x 2+1=0. Además, se pueden visualizar en el plano complejo, donde cada número complejo corresponde a un punto con coordenadas (𝑎,𝑏)
(a,b), y se aplican en áreas como la ingeniería, la física y la informática.
y se clasifican en:
CLASIFICACION
Conjugado
Multiplicación
-
Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como a+bi, donde i es la unidad imaginaria mientras a y b son números reales.
Al multiplicar números complejos conviene recordar que las propiedades que usamos al realizar operaciones aritméticas con números reales funcionan de manera similar para números complejos.
A veces ayuda pensar en i como una variable, como x. Así, con unos pocos ajustes al final, podemos multiplicar tal como esperaríamos. Para poder multiplicar podemos utilizar el metodo de FOIL
Metodo de FOIL
El método FOIL es un patrón de multiplicación que se utiliza para hallar el producto de dos binomios en matemáticas. FOIL es un acrónimo que significa "First Outer Inner Last" (Primero, Externo, Interno, Último).
Para utilizar el método FOIL, se multiplican los términos de los binomios en el orden indicado por las letras del acrónimo:
1.Primero: Se multiplican los términos que aparecen primero en cada binomio.
2.Externo: Se multiplican los términos más externos del producto.
3.Interno: Se multiplican los términos internos del producto.
4.Último: Se multiplican los términos últimos del producto.
Ejemplo de multiplicación:
y se resulve de la siguiente manera
Modúlo
División
Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Luego, escriba la respuesta final en la forma estándar. La divison de numeros complejos es otro numero complejo tal que:
1.su modulo es el cociente de los modulos
2.su argumento es la diferencia de los argumentos
Ejemplos de división
El módulo de un número complejo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su parte real y su parte imaginaria. Se denota como |z|.
La fórmula para calcular el módulo de un número complejo es |z| = √(a² + b²), donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Por ejemplo, si el número complejo es z = 3 + 4i, el módulo se calcula así: |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
El módulo de un número complejo tiene las siguientes propiedades:
1.Es igual al módulo de su conjugado.
2.|z| = 0 si, y solo si, z = 0.
3.|z1z2| = |z1| |z2|.
4.|Re(z)|≤|z|, |Im(z)|≤|z|.
5.|z1 + z2|≤|z1| + |z2|.
El módulo de un número complejo es un número real positivo que mide su tamaño y generaliza el valor absoluto de un número real. Se utiliza en problemas prácticos, como en el análisis de circuitos eléctricos.
Ejemplo de modulo de numeros complejos :
El conjugado de un número complejo es importante en matemáticas, especialmente en álgebra y análisis complejo. Algunas de sus propiedades son:
1.El conjugado refleja el número complejo original en el eje real del plano complejo
2.El producto de un número complejo por su conjugado es un número real
3.El módulo de un número complejo es igual al módulo de su conjugado
El conjugado de un número complejo es diferente del opuesto, ya que el opuesto cambia el signo de ambas partes, mientras que el conjugado solo cambia el signo de la parte imaginaria.
Ejemplos de conjugado de numeros complejos :