RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

O QUE É?

relações trigonométricas, são as possíveis divisões entre as medidas dos dois lados de um triângulo. As três razões mais conhecidas são: seno, cosseno e tangente.

No triângulo abaixo, o lado da hipotenusa é oposto ângulo reto (90º) e o maior lado do triângulo. Já o lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de cateto oposto e o lado que toca esse ângulo é denominado de cateto adjacente.

A partir da divisão entre dois dos três lados obtemos as relações trigonométricas:

• Seno (sen) = cateto oposto/hipotenusa

• Cosseno (Cos) = cateto adjacente/hipotenusa

• Tangente (Tg) = cateto oposto/cateto adjacente

image

RELAÇÃO

A posição do ângulo reto determina os lados, então:

• Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90º;

• Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90º;

• Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90º.

A relação entre os lados do triângulo é fundamentada no Teorema de Pitágoras, cujo enunciado é: “a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da sua hipotenusa”.


Isso significa que no triângulo retângulo, a hipotenusa é representada pela letra “a” e os seus catetos pelas letras “b” e “c”, a fórmula que explicita essa relação é a² = b² + c².

Falar em função, implica também na existência de domínio e imagem. O primeiro refere-se ao conjunto de partida enquanto o segundo corresponde ao conjunto de chegada.

Seno (sen) – razão entre o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo, identificado através da seguinte fórmula:

  • Sen = cateto oposto/hipotenusa
  • Fórmula da função seno: f(x) = senx
  • Domínio da função seno: D = R
  • Imagem da função seno: Im = [ -1,1]
  • Período da função seno: 2 p

COSSENO

Cosseno (cos) – razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa de um triângulo, identificado através da seguinte fórmula:

  • Cos = cateto adjacente/hipotenusa
  • Fórmula da função cosseno: f(x) = cosx
  • Domínio da função cosseno: D = R
  • Imagem da função cosseno: Im = [ -1,1]
  • Período da função cosseno: 2 p

TANGENTE

Tangente (Tg) – razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um triângulo, identificado através da seguinte fórmula:

  • Tg = cateto oposto/cateto adjacente
  • Fórmula da função tangente: f(x) = tgx
  • Domínio da função tangente: D = R
  • Imagem da função tangente: Im = [-8, 8]
  • Período da função tangente: p

image

ÂNGULOS NOTÁVEIS

click to edit

Aplicação - Dado um triângulo retângulo, com catetos 3 cm e o outro mede v3 cm, vamos determinar as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa dessa figura.


O Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h), já que os valores dos catetos são conhecidos:

(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²

h² = 3² + (v3)²

h² = 9 + 3

h = v12

h = 2v3 cm

Considerando o ângulo “a”, oposto ao lado de 3 cm, ao calcular a sua tangente temos:

tg a = cateto oposto/ cateto adjacente

tg a = 3/v3

tg a = 3/v3

tg a = 3/v3. v3/v3

tg a = 3v3/3

tg a = v3

Se tg a = v3, então a = 60. Em um triângulo retângulo, a soma dos ângulos internos deve ser 180, sendo assim podemos determinar a medida de outro ângulo agudo b:

b + a + 90° = 180°

b + 60° + 90° = 180°

b + 150° = 180°

b = 180° – 150°

b = 30°

Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30° e 60°.