Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Eigenschappen in de cirkel - Coggle Diagram
Eigenschappen in de cirkel
door 3 niet collineaire punten gaat 1 cirkel
middelpunt vinden
middenloodlijnen tekenen van 2 rechten
passer uit hoekpunten
plaats waar middenloodlijnen elkaar snijden is het middelpunt
Bewijs
geg: 3 punten (A,B,C) ∈ π
A ∈/ BC
TB: Door A, B,C haat juist 1 cirkel C(m,r)
existentie bewijs:
m1= mll [A,B] } ⇒IAMI= IBMI en IBMI= ICMI
m2= mll [B,C] } ⇒ IAMI=IBMI=ICMI= r
m1 ∩ m2= {m} }⇒ A,B,C ∈ C(m,r)
uniciteits bewijs:
stel: A,B,C ∈ C(m',r')
IAM'I= IBM'I= ICM'I= r'
middenloodlijncriterium
M' is het snijpunt van de mll van lijnstuk [AB] en [BC]
M'=M
c(m,r)= c(m',r')
Begrippen:
middelijn: verbindt 2 punten van de cirkel en gaat door het middelpunt
koorde: verbindt 2 punten van de cirkel gaat niet door het middelpunt
apothema: vertrekt uit het middelpunt en staat loodrecht op een koorde
eigenschappen:
staat loodrecht op de koorde
deelt koorde in 2 gelijke delen (middendoor
gelijke koorde hebben gelijke apothema's
middelpuntshoeken
staan beide op cirkelbogen
noteren: AM^B staat op A-B( boogje=-)
eigenschappen
omtrekshoeken
eigenschappen
als opzelfde cirkelboog dan beta = alfa.2
op dezelfde cirkel boog zijn gelijk
op halve cirkel is altijd recht
onderlinge ligging van een cirkel en een rechte
3 mogelijkheden
1 snijpunt
raaklijn
definitie:
Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die met de cirkel 1 punt gemeenschappelijk heeft
eigenschappen
een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht aan de middelloodlijn die door de raaklijn loopt
construeren
teken straal [MA]
teken rechte door A die loodrecht is op [MA]
punt buiten cirkel:
1: Lijnstuk tussen middelpunt en punt buiten cirkel
Bepaal midden van lijnstuk
Cirkel uit midden van het lijnstuk met passer breedte op het punt buiten de cirkel
raaklijnen van punt buiten cirkel naar snijpunten met cirkel
2 snijpunten
geen snijpunten
constructie van een ...cirkel van een driehoek
omgeschreven
cirkel door de drie hoekpunten
met constructie middelloodlijnen van twee zijden
snijpunt van middelloodlijnen is het middelpunt
tekenen cirkel
ingeschreven
bissectrices tekenen van 2 hoeken
loodlijn van punt M en 1 van de zijden
tekenen met middelpunt M en straal [MS]
cirkel in de driehoek
de vergelijking van een cirkel
Formules
IABI= √(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²
ontbinden in factoren van drietermen.
vergelijking maken
nodig?
coördinaten middelpunt en de straal
voorwaarden voor P zodat P op de cirkel ligt.
IPMI= r
(X-X1)²+(Y-Y1)²
algemene vergelijking cirkel
haakjes uitwerken dubbelproduct
straal en middelpunt afleiden uit vergelijking van cirkel
algemeen vergelijking omvormen naar middelpuntsvergelijking
volkomen kwadraat
aflezen
Vergelijking van de raaklijn in een punt van de cirkel
rico van beide berekenen
rico IMPI= Ym-Yp/Xm-Xp
stel op
vorm= (y - yP) = rico m (x - xP).