Series
Definición de Serie y Sucesión
Serie: Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio
El estudio de estas consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente
Secesión: Se llama sucesión o secuencia al conjunto de elementos encadenados o sucesivos.
Se excluye totalmente la sinonimia con el término: serie matemática.
Es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).
Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.
Series Finitas e Infinitas
Una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin (y, por lo tanto, pueden extenderse o prolongarse indefinidamente).
Serie Numérica
Una serie numérica en K es un par de sucesiones (an)n∈N,(Sn)n∈N relacionadas por la fórmula Sn = a1+· · ·+an
Criterio de la Razón
A "an" se le llama término general de la serie y a Sn suma n-ésima.
Entonces la serie es absolutamente convergente
Ó
La serie es Divergente
No se puede concluir nada acerca de la convergencia o no a partir de este criterio
Criterio de la raíz
Es un método aplicado para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad
Donde an son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias. Sea C el límite de arriba, entonces el criterio de la raíz establece que:
Si C<1, entonces la serie converge absolutamente
Si C>1, entonces la serie diverge,
Si C=1y lan|»1 de cierto n en adelante, entonces la serie diverge.
En otros caso el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Criterio de la Integral
Sea f una función continua, positiva o no creciente en el intervalo [1,∞) y suponga que ak = f(k) para todo entero positivo de k. Entonces la serie infinita:
converge si y solo si la integral impropia converge:
Series de Potencias
toda serie de potencias convergente define una función analítica. Esto hace muy importante a las series de potencias para el estudio de funciones analíticas.
Las series pueden ser:
Convergente: Cuando la suma es un número real.
Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.
Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.
Una serie de potencias es una suma de términos. Que esta serie converja o diverja, y el valor al cual converge o diverge, depende del valor de x, lo cual hace a la serie una función.
Serie de Taylor y Mc Laurin
Serie de Taylor: La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.
se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
Serie de Mc Laurin: En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^(n)(a)}{n!} (x-a)^{n}
Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Representación de funciones mediante la Serie de Taylor
Exponencial
Geométrica
Teorema del Binomio
Logarítmica
Funciones Trigonométricas
Función W de Lambert
Funciones hiperbólicas
Ejemplo de Serie de Taylor y Mc Laurin
Expresar: Como serie Mc Laurin
Solución: Hallar las derivadas n-ésimas
Alumno: Alexis Pérez Martínez
Profesor: Osmani González Puga
Tema: Series
Carrera: Ingeniería Civil
Semestre: 2 Grupo: B