Algebra v2
undergruppe (H,∗)
ekvivalensrelasjon \((a\sim_R b)\)
symmetrisk
transitivt
refleksivt
\(a\sim a\)
\(\left[a\sim b\right]\Leftrightarrow\left[b\sim a\right]\)
\(\left[a\sim b\right]\left[b\sim c\right]\Rightarrow\left[a\sim c\right]\)
definisjon
gruppe \((G,\ast)\)
gruppeoperasjon \((\ast:G\times G\to G)\)
En gruppe er en mengde \(G\) utstyrt med gruppeoperasjon \(\ast:G\times G\to G\)
assosiativit
identitet
invers
\((a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\)
veldefinert
\(\left[a=a'\right]\left[b=b'\right]\Rightarrow\left[ab=a'b'\right]\)
\(\left(\exists!e\in G\right)\left(\forall a\in G\right)\left(a\ast e=e\ast a=a\right)\)
\(\left(\forall a\in G\right)\left(\exists!b\in G\right)\left(a\ast b=b\ast a=e\right)\)
indeks
homomorfe \((G,\ast)\text{ og }(H,\cdot)\)
definisjon
permutasjon \((\sigma\in S_n)\)
definisjon
komposisjon
sykler
transposisjoner
La \(\sigma\in S_n\) permutere \(X=\{1,\ldots, n\}\).
Definer en ekvivalensrelasjon \(x\sim y\Leftrightarrow y\in\{\sigma^n(x)\mid n\in\mathbb{N}\}\text{ for alle }x,y\in X\). Ekvivalensrelasjonene deler \(X\) i partisjoner, hvor hver relasjon korresponderer til en sykel av \(\sigma\).
Enhver permutasjon er en disjunkt komposisjon av sykliske permutasjoner
Enhver syklisk permutasjon er en komposisjon av transposisjoner.
En permutasjon \(\sigma\in S_n\) er en bijeksjon
fra \(X\) til \(X\), hvor \(|X|=n\).
\((a_1\ldots a_k)=(a_1,a_2)\cdots(a_{k-1}a_k)=(a_1a_k)\cdots(a_1a_2)\)
paritet
En permutasjon er like/odde hvis den er en komposisjon av like/odde antall transposisjoner.
\(|G:H|=\) forholdet mellomordenen til gruppen og undergruppen.
typer av undergrupper
typer av grupper
syklisk
faktor/kvotient
simpel
abelsk
normal
\(H\) er normal hvis \(aHa^{-1}\in H\) for alle \(a\in G\).
\(G/H =\{aH:a\in G\}=\{Ha:a\in G\}\)
En gruppe er simpel hvis \(\{e\}\text{ og } G\) er de eneste normale undergruppene.
\(\left(\exists a\in G\right)\left(G=\{a^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\}\right)\)
\(ab=ba\)
restklasse
Enhver undergruppe har
venstre restklasse(r) \(aH=\{ah\mid h\in H\}\)
og høyre restklasse(r) \(Ha=\{ha\mid h\in H\}\) .
En undergruppe av \(G\) er en mengde \(H\) ustyrt med gruppeoperasjon \(\ast_{|H\times H}\)
\(\oplus:aH\oplus bH\mapsto(ab)H\)
bilde og kjerne \(\left(\phi:G\to H\right)\)
bilde
kjerne
\(\mathrm{im}(\phi)=\{\phi(a)\mid a\in G\}\)
\(\ker(\phi)=\{a\mid \phi(a)=e_H\}\)
invers
\((G,\ast)\text{ og }(H,\cdot)\) er homomorfe hvis \(\left(\exists\phi\right)\left(\phi:G\to H\right)\left[a\ast b=c\right]\Rightarrow\left[\phi(a)\cdot\phi(b)=\phi(c)\right]\)
\(\left[a\ast a^{-1}=e_G\right]\Rightarrow\left[\phi(a)\cdot\phi(a)^{-1}=e_H\right]\)
homomorfe grupper
\(G/\ker(\phi)\cong{im}(\phi)\)
\(\phi(a\ast k)=\phi(a)\cdot\phi(k)=\phi(a)\)
virkning, bane og stabilisator
generator
En undergruppe kan bli generert av gruppeoperasjoner mellom elementer og inversene i en delmengde.
orden
bane
\(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|\)
\(|G|=|G\cdot x|\cdot|G_x|\) for alle \(x\in X\)
virkning
stabilisator
\((\cdot):G\times X\to X\)
\(G\cdot x=\{g\cdot x\mid g\in G\}\)
\(G_x=\{g\in G\mid g\cdot x = x\}\)
\(X^g=\{x\in X\mid g\cdot x =x\}\)
\(e\cdot x=x\)
\(g\cdot(h\cdot x)=(g\ast h)\cdot x\)
ring
\(+:R\times R\to R\)
\(\ast:R\times R\to R\)
En ring er en mengde \(R\) utstyrt med to binære operasjoner
assosiativt
assosiativt
identitet
kommutativt
identitet
distribusjon
invers
\(a\ast(b+c)=(a\ast b)+(a\ast c)\)
\((b+c)\ast a=(b\ast a)+(c\ast a)\)
\((a+b)\oplus c=a+(b+c)\)
\(a+b=b+a\)
\(\left(\exists!0\in R\right)\left(\forall a\in G\right)\left(a+0=a\right)\)
\(\left(\forall a\in G\right)\left(\exists!b\in G\right)\left(a+b=0\right)\)
\((a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\)
\(\left(\exists!1\in R\right)\left(\forall a\in G\right)\left(a\ast 1=1\ast a=a\right)\)
ideal
- \((I,+)\) er en undergruppe av \((R,+)\)
- \(rx\in I\text{ for }r\in R\text{ og }x\in I\)
\((I,+)\) er en ideal av den additive gruppen \((R,+)\) av ringen \((R,+,\ast)\).
enhet
En enhet inverterbar element \(u\) i en ring \(R\), slik at \(\left(\exists!v\in R\right)\left(uv=vu=1\right)\)
kropp
En kropp er en kommutativ ring med invers for \(\ast\).
polynom
\(\mathbb{Q}[x]\)
\(\mathbb{Z}_n[x]\)
Et heltallspolynomi \(\mathbb{Q}[x]\) er irredusibel hvis det finnes et primtall \(p\) slik at \(p\) deler \(x_0,\ldots,x_{n-1}\), men deler ikke \(x_n\) og \(p^2\) deler ikke \(x_0\).
polynom med grad to eller tre i \(\mathbb{Z}_n[x]\) er irredusibel hvis den har ingen rot
heltallspolynom er irredusibel i \(\mathbb{Z}_p[x]\pmod p\Rightarrow\) helltalspolynom irredusibel i \(\mathbb{Q}[x]\)
orden
Ordenen til undergrupper av \(G\) deler ordenen til \(G\),
gitt at \(G\) er endelig.
For hver primtallsfaktor \(p^m\) av ordenen til en endelig gruppe \(G\), så finnes det \(n_p\) antall undergrupper av orden \(p^m\), hvor \(n_p\text{ deler }\frac{|G|}{p^m}\text{ og }n_p\equiv 1\pmod p\)
For hver primtallsfaktor \(p\) av ordenen til en endelig gruppe, så finnes det en undergruppe av orden \(p\).
For hver divisor \(d\) av ordenen til en endelig syklisk gruppe, så finnes det maks én undergruppe av orden \(d\).
Enhver endelig abelsk gruppe \(G\) er isomorf med en direkte sum av sykliske grupper av orden primtallspotenser hvor produktet er lik \(|G|\).