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Tipologie esercizi algebra lineare, Secondo Modulo - Calcolo combinatorio,…
Tipologie esercizi algebra lineare
Matrici
Calcolo matrice inversa (matrice cofattori)
Controllare che sia quadrata
Determinante != 0
Calcolo matrice dei cofattori
Determinare matrice trasposta (scambio righe/colonne)
Moltiplico matrice trasposta per 1/det(A)
Calcolo del determinante
moltiplicazione diagonale verso destra meno moltiplicazione diagonale di sinistra - Regola di Sarrus, applicabile solo alle matrici 3x3
Normalmente bisogna applicare Laplace oppure rincondurre la matrice a Sarrus
Matrice 2x2 è sarrus in miniatura
Calcolo matrice inversa (Metodo Gauss)
Controllare che sia quadrata
Determinante != 0
Definire se una matrice A è moltiplicabile con una matrice B
Sistema determinato, indeterminato, impossibile (in base al parametro k oppure no)
Calcolo il determinante della matrice delle icognite (se la matrice è quadrata)
Trovare i valori per cui il determinante si annulla
Se il determinante è diverso da 0 ammette una sola soluzione
Calcolo rango della matrice dei coefficienti e quella completa per i valori che annullano il determinante
Se il rango matrice coefficienti è uguale a rango matrice completa, allora sistema è compatibile (almeno una soluzione)
Se rango matrice coefficienti diverso da rango matrice c ompleta allora sistema è impossibile
Matrice è diagonalizzabile
Calcolo autovalori e autovettori
Applicazioni Lineari
Verificare che è uno spazio vettorale
Lo spazio e la somma sono un gruppo abeliano (commutativo)
Scomposizione
Associativo
Elemento neutro
Verificare che f è un'applicazione lineare
additività: immagine della somma è uguale alla somma delle immagini
omogeneità: l'immagine di v per il prodotto scalare è uguale al prodotto scalare per l'immagine
Appartenenza di un vettore ad un sottospazio
Verificare che sia un sottospazio vettoriale
Calcolo delle generatrici del sottospazio
Calcolo della dimensione e della base del sottospazio
Verificare che un vettore sia la base di uno spazio vettoriale
Determina la dimensione del nucleo f
Determina la dimensione dell'immagine di f
Stabilire se il vettore è contenuto nell'immagine
Sabilire se l'applicazione è
Iniettiva
Suriettiva
Biiettiva
Gruppi e sottogruppi
Anelli
Permutazioni
Calcolare Composizione
Fattorizzare in cicli disgiunti
Calcolare periodicità
Stabilire se è pari o dispari
Si tratta di un sottogruppo?
Calcolo MCD con algoritmo euclideo
Equazioni Diofantee
Stabilire se ha soluzioni
Divido il risultato dell'equazione per l'MCD, se da resto 0 ha soluzioni
Stabilire il numero delle soluzioni
Calcolare le soluzioni
Generali
Particolari (per un equazione specifica)
Divido il risultato per l'mcd e lo moltiplico per il risultato dell'equazione di Bezout
Coefficienti Binomiali
Calcolo
Secondo Modulo - Calcolo combinatorio, insiemi, Sottogruppi e Anelli
Calcolo Combinatorio
Come riconoscere
che metodo utilizzare
Nel formare raggruppamenti
l'ordine
ha importanza?
SI
Disposizioni o Permutazioni
k = n?
SI
Permutazioni
I k = n elementi sono tutti distinti?
2 more items...
NO
Disposizioni
Uno stesso elemento, in ogni raggruppamento, può essere ripetuto?
2 more items...
NO
Combinazioni
Uno stesso elemento in un raggruppamento può essere ripetuto?
SI
Combinazioni con ripetizione
NO
Combinazioni semplici
n
= numero elementi insieme
k
= numero elementi con cui si devono fare i raggruppamenti
Numero di sottoinsiemi
di un insieme con n elementi è 2^n
Congruenza lineare
Trovare
per quali valori di k la congruenza ha soluzioni intere x
Devo fare in modo che il valore k (supponendo che sia quello dopo l'uguale nella congruenza) sia divisibile per il MCD tra il coefficiente della x e n (valore del modulo)
Per un valore di k trovare una soluzione intera della congrunza usando un'
opportuna identità di Bezout
Trovo il valore dell'MCD tra coefficiente x e valore del modulo
Isolo il resto (sperando che sia 1) e lo metto in rapporto alle altre uguaglianze, fino ad ottenere come valori solo il coefficiente x e valore modulo
A questo punto trovo i nuovi coefficienti di questi 2 valori, mi interesso di quello a fianco al coefficiente della x
Moltiplico valore per il risultato della congruenza (per bilanciare il fatto che questo è su 1)
Descrivere le soluzioni intere
della congruenza per un dato valore di k
x = x0 + t(n/MCD(n, coeff x))
t = numero ogni volta crescente dell'MCD(n, coeff x)
L'insieme dei risultati è la descrizione che cercavamo
Calcolare
rappresentanti canonici modulo x delle soluzioni intere
della congruenza per un valore di k dato
Numero di rappresentanti canonici = valore MCD tra x e il numero modulo
Sostituisco il valore di t nella formula della soluzione della congruenza per tutti i valori, e così ho i rappresentanti canonici
Anelli, campi e funzioni
Dimostrare che il tale sottoinsieme è un
sottoanello
Dimostro che è un
sottogruppo
Confermo che l'elemento nullo appartiene ancora all'insieme
Verifico che la somma e la sottrazione valgano ancora per il sottoinsieme
Ora verifico che sia un
sottomonoide
che valga la moltiplicazione
Che l'elemento identità appartenga al sottoinsieme
Matrice identità = Matrice diagonale tutti 1 e il resto 0
Stabilire se l'anello è
commutativo
Lo verifico sperimentalmente, facendo un esempio pratico (devo cercare il caso limite in cui non è vero)
Su internet ho trovato che deve essere
Associativo
Commmutativo
Elementi neutri
Elementi opposti
Elementi inversi
Distributività
Stabilire se l'anello
è un campo
è un campo se è commutativo
non lo è altrimenti
Stabilire se la funzione che associa qualcosa è
iniettiva, suriettiva, biettiva
Iniettiva
: quando
non
ci sono 2 valori uguali della funzione per cui l'immagine è la stessa
Suriettiva
: Quando ogni valore della funzione corrisponde ad almeno un elemento del dominio
Biettiva
: è sia suriettiva che iniettiva
Insiemi
Calcolare la
cardinalità di un insieme
.
è il numero di elementi che compongono un insieme
Stabilire se la
funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva
Stabilire quante sono
le classi d'equivalenza di R descrivendole
esplicitamente
Per ciascuna classe d'equivalenza stabilire se è un
sottomonoide
Verificare che l è un
omomorfismo di monoidi
Definizione
monoide
: struttura algebrica dotata dell'operazione associativa e di un elemento neutro
Definizione
omomorfismo
: applicazione fra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva operazioni in esse definite.
Relazioni
Verificare che r è una
relazione di equivalenza
Dato un numero intero, determinare
cardinalità classe d'equivalenza
Sostituiamo l'intero x nella relazione d'equivalenza.
Troviamo i valori di z per cui la condizione della relazione è valida, nel nostro caso z e -z perchè l'equazione è z^2 = x^2
Quindi l'insieme della relazione è composto da {z, -z}. Ovviamente la sua cardinalità è 2
Se invece abbiamo che z = 0 allora la cardinalità è 1 (contiene solo 0 nell'insieme)
Descrivere la partizione indotta
da R sull'insieme Z
è l'insieme delle classi d'equivalenza di R. Come abbiamo visto nel calcolo della classe equivalenza, la partizione è l'insieme di insiemi di valori per cui la relazione è valida.
Considerare relazione binaria S su insieme Z data dalla composizione di R con se stessa: Stabilire se è
relazione d'equivalenza
Non so come spiegarlo, guardare la correzione dell'esercizio 3 punto d prova 19/1/22
Verificare che è una
relazione d'ordine
Per essere una relazione d'ordine deve godere delle proprietà:
Riflessiva
ogni numero è minore o uguale di se stesso (a<=a)
Antisimmetrica
se a<=b e b<=a allora a=b. In sintesi devo verificare che possa esistere un identità
Transitiva
se a<=b e b<=c allora a<=c. Devo dimostrare che con un terzo elemento la relazione d'ordine si mantiene.
Stabilire se è una
relazione d'ordine totale o parziale
Dobbiamo supporre che non valga la relazione preposta. Se questo accade verranno invertiti i nomi delle incognite ma se è d'ordine totale la relazione si manterrà. Se non lo è sarà parziale.
Ovvero quando gli elementi dell'insieme saranno sempre confrontabili tramite la relazione prestabilita
Stabilire se ha
massimo e minimo
Massimo:
Se per un elemento tutti sono correlati a lui ma da esso non "esce nessuna freccia", quindi è quello più a destra della relazione
Minimo:
Se un elemento è correlato a tutti ma nessuno è correlato a lui, ovvero se da lui non "entra nessuna freccia", quindi è quello più a sinistra della relazione
Considerato l'intervallo, stabilire se I è
finito o infinito
Devo disporre i membri della relazione per l'intervallo e vedere se sono finiti oppure se proseguono all'inifito
Permutazioni
Calcolare
permutazione composta
e
inversa
Per la composta l'abbiamo già trattata qui sotto, per l'inversa
Scambio le righe e se voglio riordino le colonne per avere 12345... sopra
Fattorizzare in
cicli disgiunti
Devo partire da un valore e vedere dove si sposta nella permutazione, e continuare così finchè non trovo un loop, trovato il loop chiudo la parentesi e procedo con il valore successivo allo stesso modo
Calcolare
periodo
minimo comune multiplo tra i periodi dei componenti della fattorizzazione dei cicli disgiunti. Ovvero mcm tra il numero di elementi in ogni ciclo.
Considerare relazione binaria R definita sul gruppo dalla condizione: date a e b, quando a(1)=b(1).
Verificare relazione d'equivalenza
Per verificare la relazione d'equivalenza la relazione deve rispettare le seguenti proprietà
Riflessiva
Presi due elementi dello stesso campo, sono identici anche applicati nella relazione
Simmetrica
Presi 2 elementi dello stesso campo, la relazione con ordine 1 e 2 è uguale alla relazione cambiata di ordine (2, 1). Questa coppia ordinata appartiene alla relazione se è vero
Transitiva
Se presi 3 elementi dello stesso campo: il primo è uguale al secondo e il secondo è uguale al terzo, allora la coppia ordinata primo e terzo appartengono alla relazione.
Descrivere la
classe d'equivalenza
secondo R dell'elemento permutazione e
calcolare cardinalità
.
Valore alpha appartenente alle permutazioni di classe n tale che la permutazione e alpha appartengono a R
Alfa appartiene alle permutazioni di classe n tale che alfa di 1 è = classi-1
classi-1!
Calcolare la
composizione di permutazioni
avendo la permutazione f°g
Guardo la funzione g e partendo da 1 (il primo numero prima riga) vedo che valore di output corrisponde
Il numero di output che corrisponde lo chiamiamo x, e andiamo a vedere in f a che output corrisponde
Quest'ulteriore valore y è quello che riporteremo nel risultato della composizione
Ripetere per tutti i valori rimanente e si comporrà la permutazione composta
Stabilire se esiste un numero naturale n per cui due permutazioni sono uguali dove l'esponente n è il numero di ripetizini della composizione
Stabilire se il
sottoinsieme è anche il sottogruppo
Sia la funzione f un
omomorfismo
, dimostriamo che preserva:
Composizione
Prese due permutazioni diverse, vedere se la funzione delle due permutazioni composte è uguale alla composizione delle due funzioni separate
Elemento Neutro
se la funzione mantiene l'elemento neutro nella sua applicazione
Inversibilità
mostrare che f della permutazione ^-1 è uguale a f^-1 della permutazione
Prodotto tra cicli disgiunti
è esattamente uguale alla composizione, solo che bisogna stare attenti a rispettare l'ordine
Primo Modulo - Matrici e Sistemi Lineari
Matrici/Sistemi Lineari
Stabilire se la matrice è moltiplicabile:
numero delle colonne del primo membro deve essere uguale al numero di righe del secondo membro.
Fatto questo passo a moltiplicare la prima riga di A per la prima colonna di B, poi per la seconda colonna di b e così via.
Uguaglianze tra matrici
:
Svolgere i membri a destra e sinistra del segno d'uguaglianza e verificare che il risultato sia identico o diverso.
Stabilire se una matrice ammette o non ammette soluzioni
Compatibile (ammette soluzioni)
:
Se il rango della matrice è uguale al rango della matrice completa, secondo il teorema di Rouche-Capelli. Il numero di soluzioni è inf^n-r dove n è il numero di incognite e r è il rango della matrice e della matrice completa
Indeterminato (ammette infinite soluzioni, corrisponde a inf^n-r con n-r!=0)
Determinato (una sola soluzione, corrisponde a inf^0)
Impossibile (non ammette soluzioni)
:
Se il rango della matrice è minore del rango della matrice completa, secondo il teorema di Rouche-Capelli
Determinare la matrice inversa
:
è pari a -1/detA * (matrice dei cofattori)
La matrice dei cofattori è la matrice composta da il determinante della sottomatrice generata eliminando righe e colonne una alla volta.
Sistemi e Sottospazi
Vettore V appartiene a sottospazio generato da abc vettori
:
Solo se si può scrivere come combinazione lineare dei vettori che generano il sottospazio.
imposto uguaglianza ka+kb+kc=v
Sviluppo l'uguaglianza con le componenti dei vettori, esempio:
k1 (1,0,3) + k2 (0, 1, -1) + k3 (1, 1, w+1) = (0, 0, 1)
Due vettori per essere uguali devono avere le stesse componenti
(k1, 0, 3k1)+(0, k2, -k2)+(k3, k3, k3(w+1))=(0, 0, 1)
Ora spostiamo in un sistema le equazioni e risolviamo per il parametro. Trovati i valori avremo i coefficienti che permetteranno la rappresentazione come combinazione lineare del vettore dato tramite i vettori che generano il sottospazio.
Stabilire se è un sottospazio
:
lo è solo se è chiuso rispetto alle operazioni
Somma tra due vettori
Moltiplicazione vettore per uno scalare
Il vettore nullo appartiene allo spazio? Se si allora può essere sottospazio
Trovare la base di un sottospazio:
Scelgo n incognite libere con n = dimensione sottospazio
Imposto il sistema per l'incognita scelta e scrivo in forma normale
Ora posso prendere i coefficienti delle incognite libere e trasformarli in vettori
Trovare la dimensione di un sottospazio:
è pari alla dimensione del campo in cui opera - il numero di equazioni che compongono il sottospazio.
Per le matrici la dimensione è il prodotto fra il numero di righe e il numero di colonne
Per i polinomi il grado massimo è la dimensione.
Stabilire che i vettori costituiscono una base di un campo:
Dimostriamo che i vettori siano linearmente indipendenti: componiamo una matrice con le colonne che corrispondono ai vettori. Se il rango della matrice risulta massimo allora i vettori sono linearmente indipendenti
Dimostriamo che ogni vettore si può esprimere come combinazione lineare degli altri (vedere la sezione della appartenenza di un vettore al sottospazio generato)
x vettori generano un campo
:
imposto un sistema in modo che possano essere combinazioni lineari, in questo modo inserisco in una matrice e studio le soluzioni. Se ammette soluzioni allora genera quel campo.
Applicazioni Lineari
Definire se è un'applicazione lineare
:
Come per i sottospazi studio
Somma tra 2 vettori
Moltiplicazione del vettore per uno scalare
Nucleo
Calcolo della base del nucleo
:
Funzione = 0, calcolo i coefficienti delle varie incognite utilizzando in un sistema le incognite libere e poi trasportando i coefficienti in un vettore.
Dimensione del nucleo
= dimensione dello spazio di partenza - dimensione immagine
Immagine
Calcolo base dell'immagine
Dimensione dell'immagine
= rango della matrice associata all'applicazione
Quando un applicazione è biettiva è contemporaneamente
Iniettiva
: quando la dimensione del nucleo è pari a 0
Suriettiva
: quando la dimensione dell'immagine = dimensione dello spazio vettoriale
Matrice associata rispetto a delle basi
Calcoliamo le immagini dell'applicazione lineare secondo i vettori dati
Determiniamo il vettore delle coordinate rispetto la base di arrivo (ovvero rappresentare in combinazione lineare le immagini trovate con le componenti delle basi d'arrivo)
Scrivo i vettori risultanti in colonna e formerò la matrice associata
Determinante e autovalori
Calcolo autovettori
sottraggo alla matrice la matrice diagonale (che come valori avrà l'autovalore sulla diagonale principale), uguagliando il sistema a 0
A questo punto risolvo il sistema utilizzando le incognite libere
Trasferisco i coefficienti del risultato in un vettore, e questi saranno i miei autovettori
Calcolo autovalori
La matrice deve essere quadrata
sottraggo alla matrice associata la matrice diagonale che come coefficiente ha lambda.
Calcolo il determinante e lo eguaglio a 0, trovando i valori di lambda. Questi indicheranno i miei autovalori.
Quando una matrice è diagonalizzabile
Quando esiste una matrice A tale che PD=AP dove P è la nostra matrice e D è la matrice diagonale semplice.
Verificare che la funzione f è lineare
: dimensione del kernel = 0
