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二元关系 - Coggle Diagram

- - - - 若ρ是自反的，则关系矩阵的主对角线上的所有元素均为1
      - 若ρ是反自反的，则关系矩阵的主对角线上所有元素均为0
      - 若ρ是对称的，则关系矩阵关于主对角线对称
      - 若ρ是反对称的，则关系矩阵中，关于主对角对称的元素不同时为1
    - - 若ρ是自反的，则关系图中每一结点引出一个指向自身的单边环
      - 若ρ是反自反的，则关系图中每一结点均没有单边环
      - 若ρ是对称的，则在关系图中，若两结点之间存在有边，则必存在两条方向相反的边
      - 若ρ是反对称的，则在关系图中，任意两个不同的结点间至多只有一条边
      - 若ρ是可传递的，则在关系图中，若每当有边由ai指向ak，且又有边由ak指向aj，则必有一条边由ai指向aj
- - - - 若(a,b)∈ρ，则称a与b有关系ρ，又记作aρb
      - 若(a,b)∉ρ，则称a与b没有关系ρ，又记作aρ'b
    - - 空关系
        
        对任意集合A,B,Ø⊆A×B，Ø⊆A×A，所以Ø是由A到B的关系，Ø也是A上的关系，称为空关系
      - 普通关系
        
        因为A×B⊆A×B，A×A⊆A×A，所以A×B是一个由A到B的关系，A×A是A上的关系，常将A×A记作UA={(ai,aj)|ai,aj∈A}
      - 恒等关系
        
        定义集合A上的恒等关系IA={(a,a)|a∈A}
- - - - 设A、B、C均是有限集，R1是一由A到B的关系，R2是一由B到C的关系，它们的关系矩阵分别为MR1和MR2，则合成关系R1·R2的关系矩阵：MR1·R2=MR1·MR2
- - - - A、B上关系R的关系图是一个有向图
        
        当且仅当aRb时，用带方向的弧或线段联结a和b
        
        若aRa，则在a处画一条自封闭的弧线
        
        A、B中的每个元素分别用一个顶点表示
        
        注意：关系图中顶点的位置，弧或线段的长度可任意
- - - - 设ρ是集合A上地等价关系，则A中等价于元素a的所有元素组成的集合称为a生成的等价类，用[a]ρ表示，即[a]ρ={b|b∈A且aρb}
    - - 对任意的a,b∈A，若aρb，则[a]ρ=[b]ρ
      - 对任意a，b∈A，若aρ’b，则[a]ρ∩[b]ρ=Ø
      - 对任意a∈A，[a]ρ≠Ø
- - - - 当A=Ø或者B=Ø时，A×B=Ø，即Ø×B=A×Ø=Ø
      - 笛卡尔积A×A，我们常记作A^2
    - - 当A和B是有限集时，A×B必有限，而且#(A×B)=#A×#B，当其中有一个有限集合时，A×B必为无限集合
      - 推广到一般，对任意有限集合A1，A2，……An，则A1×A2×……×An也是有限集，且#（A1×A2×……×An）=#(A1)×#(A2)×……×#(An)
      - 当A1=A2=……=An=A时，A1×A2×……×An=A^n，称为A的n次幂集
    - - (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
      - A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
      - A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
      - (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
    - - 即设A、B、C是任意集合，则A×B≠B×A（除非A=Ø或B=Ø或A=B）
        A×B×C≠(A×B)×C≠A×(B×C)
- - - - ρ⊆r(ρ)
      - r(ρ)是自反的
      - 对于A上任何关系ρr，若ρr自反且ρ⊆ρr，则r(ρ)⊆ρr
    - - ρ⊆s(ρ)
      - s(ρ)是对称的
      - 对于A上任何关系ρs，若ρs对称且ρ⊆ρs，则s(ρ)⊆ρs
    - - ρ⊆t(ρ)
      - t(ρ)是可传递的
      - 对于A上任何关系ρt，若ρt可传递且ρ⊆ρt，则t(ρ)⊆ρt